\documentclass[11pt]{article}

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\begin{document}
	
	\title{Sémantique catégorique de la réduction des GATs en GATs à deux sortes}
	
	\author{Samy Avrillon, encadré par Ambroise Lafont\\
		\small Équipe PARTOUT, Laboratoire d'Informatique de l'École Polytechnique (LIX)}
	
	\maketitle
	
	\pagestyle{empty} %
	\thispagestyle{empty}
	
	
	\subsection*{Le contexte général}
	
	Les théories algébriques généralisées (ou GAT) sont des objects syntaxiques introduits en 1986 par Cartmell qui permettent la description d'objects algébriques, comme une généralisation des types inductifs de théorie des types.
	
	Un GAT est constitué d'une liste de \enquote{sortes} décrivant les ensembles, généralement suivie d'une liste de \enquote{constructeurs}.
	
	\question{De quoi s'agit-il ?} 
	\question{D'où vient-il ?}
	\question{Quels sont les travaux déjà accomplis dans ce domaine dans le monde ?}
	
	\subsection*{Le problème étudié}
	
	Il existe un processus qui permet de transformer n'importe quel GAT en un GAT avec seulement deux sortes. Cette transformation a été utilisée par Philippo Sestini dans sa thèse, afin de restreindre son sujet d'étude. Cependant, il n'a pas été prouvé que cette transformation ne réduisait pas la généralité de sa thèse.
	
	\question{Quelle est la question que vous avez abordée ?}
	\question{Pourquoi est-elle importante, à quoi cela sert-il d'y répondre ?}
	\question{Est-ce un nouveau problème ?}
	\question{Si oui, pourquoi êtes-vous le premier chercheur de l'univers à l'avoir posée ?}
	\question{Si non, pourquoi pensiez-vous pouvoir apporter une contribution originale ?}
	
	\subsection*{La contribution proposée}
	
		Durant ce stage, j'ai recherché à formaliser sémantiquement cette transformation. J'ai commencé par l'appliquer à des exemples, trouver des propriétés sur ces exemple, pour ensuite formaliser dans la théorie des catégorie la transformation, et prouver formellement les propriétés que j'avais remarquées sur les exemples.
	
	\question{Qu'avez vous proposé comme solution à cette question ? 
	Attention, pas de technique, seulement les grandes idées ! 
	Soignez particulièrement la description de la démarche \emph{scientifique}.}
	
	\subsection*{Les arguments en faveur de sa validité}
	
		La preuve a été faite sémantiquement en essayant à chaque étape de généraliser les objets utilisés au maximum. Les constructions des objets sont basées sur des papiers déjà publiés, qui sont cités dans ce rapport.
		
		La construction proposées et les propriétés établies prouvent également la conjecture établie par Philippo Sestini dans sa thèse.
	
	\question{Qu'est-ce qui montre que cette solution est une bonne solution ?}
	\question{Des expériences, des corollaires ?}
	\question{Commentez la \emph{robustesse} de votre proposition : 
	comment la validité de la solution dépend-elle des hypothèses de travail ?}
	
	\subsection*{Le bilan et les perspectives}
	
		Nous avons formalisé la transformation sémantiquement, ce qui permet de gagner en généralité.
		Cette tranformation a été prouvée, et permet notamment de restreindre une étude aux seuls GATs à deux sortes.
		
		Cette transformation met en correspondanc de façon intéressante les \enquote{déclarations de sortes} et les \enquote{constructeurs}, ce qui permetterai évenuellement de les recouper dans une même notion.
		
		Nous avons également de quoi réfléchir à une généralisation des GATs qui décriraient par exemple des types mutuellement inductif, mais aussi d'autres objets plus \enquote{exotiques}. Il y a du travail à les étudier, et à observer l'effet de la transformation sur ces objets.
		
	\question{Et après ? En quoi votre approche est-elle générale ?}
	\question{Qu'est-ce que votre contribution a apporté au domaine ?}
	\question{Que faudrait-il faire maintenant ?}
	\question{Quelle est la bonne \emph{prochaine} question ?}
	
\end{document}