Écriture de la première partie du compte-rendu

CompteRendu/.gitignore

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 *.synctex.gz
 *.toc
+*.thm

CompteRendu/CompteRendu.tex

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 % !TeX encoding = UTF-8
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@@ -20,11 +24,27 @@
 \renewcommand\part{\clearpage\oldpart}
 
 % Un peu plus d'interligne, c'est plus lisible
-\doublespacing
+\onehalfspacing
 
 % Fait une jolie barre horizontale
 \newcommand{\hsep}{\centerline{\rule{0.8\linewidth}{.05pt}}}
 
+% Racourcis
+\newcommand{\FD}{\mathbb{F}_2\hspace{-.2em}}
+
+\newtheoremstyle{break}
+  {\topsep}{\topsep}%
+  {}{}%
+  {\bfseries}{}%
+  {\newline}{}%
+\theoremstyle{break}
+\newtheorem{definition}{Définition}[section]
+\newtheorem{theoreme}{Théorème}[section]
+\theoremstyle{remark}
+\newtheorem*{remarque}{Remarque}
+
+% Compter les mots
+
 \author{Samy AVRILLON, Victor BELLOT, Dylan THEVENET}
 \title{Études des codes cycliques}
 \begin{document}
@@ -37,12 +57,108 @@
 	
 	\pagebreak
 	
-	\part{Mathématique}
+	\part{Contexte mathématique}
+		
+	\section{Codes}
 	
+	\begin{definition}[Code, Codage]
+		On définit un code de paramètres $(n,k)$ comme une partie de $\FD^n$ associée à $\FD^k$. Un codage est une application de $\FD^k$ vers $\FD^n$ injective.
+		
+		Un codage est dit systématique lorsque les $k$ premiers bits de l'image d'un élément sont égaux à cet élément.
+	\end{definition}
+	\begin{definition}[Distance de Hamming, Poids d'un mot]
+		La distance de Hamming entre deux mots $v$ et $w$ de $\FD^n$ est le nombre de coordonnées différentes des deux mots.
+		$$d(v,w) = \operatorname{card}(i\in \llbracket1,n\rrbracket,v_i \neq w_i)$$
+		
+		Le poids d'un mot est son nombre de coordonnées non nulles, égal à sa distance au vecteur nul.
+	\end{definition}
 	
+	\begin{definition}[Capacités d'un code]\label{thMinDist}
+		Étant donné un code $C$, on appelle capacité de détection $e_d$ et capacité de correction $e_c$ le plus grand nombre de bits erronés que l'on puisse détecter, respectivement corriger dans le code.
+		La distance minimale d'un code est la plus grande distance entre deux mots du code.
+		
+		$$d_C = \min_{x,y\in C\times C}\left(d(x,y)\right)$$
+	\end{definition}
 	
-	\part{Algorithmie}
-	\section{Structures de données crées}
+	\begin{theoreme}
+		On peut alors exprimer $e_d$ et $e_c$ en fonction de $d_C$ :
+		
+		$$ e_c = d_C - 1 \qquad e_d = \left\lfloor\frac{d_C - 1}{2}\right\rfloor$$
+	\end{theoreme}
+	
+	\begin{definition}[Code Parfait]
+		Un code parfait est un code tel que pour tout mot $w$ de $\FD^n$, il existe un \underline{unique} mot de $C$ étant à une distance minimale de $w$. Autrement dit, il n'y a jamais d'ambigüité sur la façon de décoder un mot erroné.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remarque}
+		Il n'existe que trois types de codes parfaits:
+		\begin{itemize}
+			\item Les codes de Hamming
+			\item Les codes de répétition pure
+			\item Le code de Golay binaire de longueur 23
+		\end{itemize}
+	\end{remarque}
+		
+	\section{Codes linéaires}
+	
+		On dit qu'un code est linéaire lorsqu'il a une structure naturelle de sous-espace vectoriel de $\FD^n$. Les codages linéaires associés sont des applications linéaires.
+		
+		\begin{definition}[Matrice génératrice]
+			On appelle \textbf{matrice génératrice} d'un codage linéaire $\phi$ la matrice de $\mathcal{M}_{n,k}(\FD)$ associée à $\phi$. 
+		\end{definition}
+		
+		\begin{definition}[Matrice de contrôle]
+			On appelle \textbf{matrice de contrôle} n'importe quelle matrice de $\mathcal{M}_{n-k,k}(\FD)$ ayant $C$ pour noyau.
+			
+			Tout code a au moins une matrice de contrôle.
+		\end{definition}
+		
+		\begin{theoreme}[Calcul de distances]
+			La structure d'espace vectoriel ainsi que la définition \ref{thMinDist} nous permettent de dire que la distance minimale d'un code linéaire est le plus petit poids non nul de ses vecteurs.
+			
+			On peux aussi utiliser la borne de Singleton qui assure:
+			
+				$$d_C \leqslant n+1-k$$
+			
+		\end{theoreme}
+		
+		Voici ici  quelques concepts qui seront utiles au décodage.
+		
+		
+		\begin{definition}[Erreur et syndrome]
+			Si l'on souhaite envoyer un mot $X \in \FD^k$ qui est donc codé en $Y\in C$. Le mot réceptionné est $Z \in \FD^n$.
+			
+			On appelle alors \textbf{mot erreur} le mot $E = Z - Y$.
+			On appelle \text{syndrome} le mot $S = H \cdot Z$.
+			
+			On remarque que $E$ et $Z$ on le même syndrome. On peut plus généralement définir une relation d'équivalence «avoir le même syndrome». Les classes d'équivalence de cette relation sont appelées \textbf{classes latérales}
+		\end{definition}
+		
+	\section{Codes cycliques}
+		
+		\begin{definition}[Code cyclique]
+			Un code linéaire est dit cyclique si il est stable par décalage binaire cyclique. C'est à dire que si $w_1w_2w_2\ldots w_n$ est dans $C$ alors $w_2w_3w_4\ldots w_{n-1}w_nw_1$ appartient aussi à $C$.
+			
+			On peut aussi définir le \textbf{code cyclique engendrée} par un mot $w$, qui est le plus petit espace vectoriel stable par décalage cyclique qui contienne $w$.
+		\end{definition}
+		
+		\begin{definition}
+			On définit le mot binaire associé au polynôme $P=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{a_i\cdotp X^i}$ comme étant le mot $a_0a_1\cdots a_{n-1}$. Le polynôme réciproquement associé à un mot binaire par ce procédé est appelé \textbf{représentation polynomiale} du mot.
+		\end{definition}
+		
+		\begin{definition}[Polynôme générateur]
+			Un polynôme $P$ de $\FD\,[X]$ de degré $n-k$ est dit \textbf{générateur du code cyclique $C$ de paramètre $(k,n)$} lorsque $P | X^n + 1$ et que $(\sigma^i(w))_{i\in \llbracket 0,k-1\rrbracket}$ est une base de $C$ avec $\sigma$ l'opérateur de décalage binaire cyclique est $w$ le mot associé à $P$
+		\end{definition}
+		\begin{theoreme}[Théorème fondamental des codes cycliques]
+			Tout code cyclique admet un et un seul polynôme générateur.
+		\end{theoreme}
+		
+		\begin{remarque}
+			Un codage naturel pour un code cyclique apparaît avec le polynôme générateur. Le codage appliqué à un mot $w$ est le mot associé au produit du polynôme générateur et du polynôme associé à $w$. 
+		\end{remarque}
+		
+	\part{Algorithmes}
+	\section{Des structures de données}
 	\section{Liste des fonctions}