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5.9 KiB
OCaml
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OCaml
(* Implémentation des codes linéaires *
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* un code linéaire est une application linéaire f de S = {0,1}^k dans D = {0,1}^n injective
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* le terme code désigne aussi l'espace C = Im(f)
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* k représente la dimension de l'espace source, on l'appelle dimension du code
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* n représente la dimension de l'espace des codes, on l'appelle longueur du code
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* on modèlise un code linéaire par sa matrice génératrice G, celle-ci possède n lignes et k colonnes, elle est à coefficients dans {0,1}
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* tout calcul matriciel se fait dans le corps F_2
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* nous nous intéressons dans un premier temps à des codes systématiques càd recopiants le mot d'entré puis rajoutants des redondances
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* pour aider le décodage on introduit le concept de matrice de contrôle H dont on n'a pas l'unicité, il s'agit d'une matrice comportant n-k lignes et n colonnes et dont le noyau correspond à l'image du code
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* la distance minimale d_f d'un code correspond à la plus petite distance séparant deux mots distincts du code
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* on définit à partir de celle-ci la capacité de détection e_d du code ainsi que celle de correction e_c
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* un code est parfait si pour tout mot de code M de D, il existe un unique Y appartenant à C minimisant la distance de M à Y
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* on souhaite transmettre un mot source X, pour ce faire on l'encode en Y = f(X) puis on envoit Y, après transmission (et donc des apparitions d'erreurs) est reçu Z
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* notre but est de construire un algorithme capable de déterminer le mot de code Y' le plus proche de Z et donc de décoder Z en X' = f<-1>(Y')
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* on pose E = Z + Y le mot d'erreur associé à Z
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* pour M un mot de code, on appelle syndrome de M le mot HM, on note en particulier S le syndrome de Z
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* en remarquant que E est dans la classe lattérale de Z (càd qu'il a le même syndrome que Z), la recherche de Y' se ramène à celle du mot de plus petit poids (au sens de Hamming) dans la classe lattérale de Z
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*NOTE SUR LA PROGRAMMATION*
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* on représente un vecteur dans F_2 par un entier dont la décomposition binaire correspond aux composantes du vecteur
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* on représente une matrice par un liste d'entier, il s'agit de la liste de ses colonnes (qui sont donc des vecteurs)
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*)
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(* La bonne structure *)
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type code_lineaire = {k : int; n : int; g : int list; h : int list};;
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(* Effectue le produit matriciel 'matrice' . 'vecteur' *)
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let produit matrice vecteur =
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let rec auxiliaire resultat_partiel masque = function
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| [] -> resultat_partiel
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| colonne :: reste ->
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let resultat =
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if masque mod 2 = 1
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then (lxor) colonne resultat_partiel
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else resultat_partiel
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in auxiliaire resultat (masque / 2) reste
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in auxiliaire 0 vecteur matrice
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;;
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produit [14; 5; 23] 6;;
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(* Calcul Y = GX *)
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let encoder code x = produit code.g x;;
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(* Ne calcul papy *)
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let deux_puissance = (lsl) 1;;
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deux_puissance 11;;
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(* Construit la matrice identité de taille d.d *)
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let identite d =
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let rec sub acc = function
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| p when p >= 0 -> sub ((deux_puissance p) :: acc) (p-1)
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| _ -> acc
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in sub [] (d-1)
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;;
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identite 3;;
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(* Le nom de cette fonction n'est pas assez explicite *)
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let construire_code_lineaire_systematique k n redondance =
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let g =
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let decalage = deux_puissance k in
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let rec iteredon ajout = function
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| [] -> []
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| tete :: queue ->
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let c = tete * decalage + ajout in
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c :: (iteredon (ajout * 2) queue)
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in iteredon 1 redondance
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and h = redondance @ (identite (n-k)) in
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{k = k; n = n; g = g; h = h}
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;;
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(* Un classique : code de Hamming (4, 7)
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1 0 0 0
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0 1 0 0
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0 0 1 0
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0 0 0 1
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1 1 1 0 1 0 0
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1 1 0 1 0 1 0
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1 0 1 1 0 0 1
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-> les 4 premières colonnes : G
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-> les 3 dernières lignes : H
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*)
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let code_hamming =
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construire_code_lineaire_systematique 4 7 [7; 3; 5; 6]
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;;
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encoder code_hamming 6;;
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(* Change l'état du 'i'-eme bit *)
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let changer_bit i = (lxor) (deux_puissance i);;
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changer_bit 2 6;;
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(* Vérifie que 'y' respecte toutes les contraintes de 'cs' *)
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let respecter y cs =
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let ny = (lnot) y in
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List.fold_right (fun c b -> b && (land) c ny > 0) cs true
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;;
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respecter 7 [3];;
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(* Etant donné touts les vecteurs de poids p dans un espace de dimension d, retourne touts ceux de poids p+1 dans ce même espace *)
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let suivants d vecteurs =
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let contraintes = ref [] in
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let resultats = ref [] in
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let rec iterer = function
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| [] -> ()
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| x :: r ->
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let donne_un_resultat = ref false in
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for i=0 to d-1 do
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let y = changer_bit i x in
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if x < y && (respecter y !contraintes)
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then begin
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resultats := y :: !resultats;
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donne_un_resultat := true;
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end;
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done;
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if !donne_un_resultat
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then contraintes := x :: !contraintes;
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iterer r;
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in iterer vecteurs; !resultats
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;;
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suivants 3 [7];;
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(* Renvoit le plus petit mot (au sens de Hamming) dans F_2^d vérifiant 'propriete' et de poids inférieur à poids_max. Renvoie le couple (-1, 0) si aucun mot n'a été trouvé *)
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let plus_petit_verifiant propriete poids_max d =
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let rec chercher p vecteurs =
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match List.find_opt propriete vecteurs with
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| Some v -> (p, v)
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| None ->
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if p < poids_max
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then chercher (p+1) (suivants d vecteurs)
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else (-1, 0)
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in chercher 0 [0]
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;;
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let appartenir code v = produit code.h v = 0;;
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(* Calcul la distance minimale d'un code *)
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let distance_minimale code =
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let n = code.n in
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let propriete = fun v -> (0 < v) && (appartenir code v) in
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let (p, _) = plus_petit_verifiant propriete n n in p
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;;
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distance_minimale code_hamming;;
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(* Calcul de façons à ouf l'antécédent de 'y' pour le code 'code' *)
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let antecedent code y =
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let mot_max = (deux_puissance code.k) - 1 in
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let rec iterer = function
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| x when x = mot_max -> failwith "y n'appartient pas au code"
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| x ->
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if (encoder code x) = y
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then x else iterer (x+1)
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in iterer 0
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;;
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(* Applique notre algorithme préféré *)
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let decoder code z =
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let d_min = distance_minimale code in
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let e_c = (d_min - 1) / 2 and n = code.n in
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let propriete = fun v -> appartenir code ((lxor) z v) in
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match plus_petit_verifiant propriete e_c n with
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| (-1, 0) -> failwith "on ne peut décoder"
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| (_, e) -> antecedent code ((lxor) z e)
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;;
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decoder code_hamming 20;; |