Expression du théorème pour la seconde preuve.
This commit is contained in:
parent
6252c993e8
commit
9f708fe379
GPG Key ID:
7054D5D6A90F084F
@ -810,78 +810,34 @@
|
||||
\section{Preuve du \eng{context lemma} avec les valeurs infinies}
|
||||
\label{anx:proofHValCL}
|
||||
|
||||
La première étape est de décomposer l'opérateur $\pprec$, et de changer l'ordre des opérateurs. Nous cherchons donc à prouver que
|
||||
Nous allons démontrer une version un peu plus puissante de ce théorème, ce qui simplifiera l'induction que nous ferrons.
|
||||
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
\forall \mathcal{A}\quad\forall e,f \quad\forall \mathcal{B} \\
|
||||
\left(\forall \hbar\quad e \rightarrow^* \hbar\bracket{\overline{e'}} \implies \exists \overline{f'}\quad f \rightarrow^* \hbar\bracket{\overline{f'}}\right) \implies \\
|
||||
\left(\forall h \forall \hbar \quad h\bracket{e} \rightarrow^* \hbar\bracket{\overline{e'}} \implies \exists \overline{f'}\quad h\bracket{f} \rightarrow^* \hbar\bracket{\overline{f'}}\right)
|
||||
\end{gather*}
|
||||
Tout d'abord, nous allons définir quelques notations locales à cette preuve.
|
||||
|
||||
Déjà, nous ne spécifierons pas la \eng{class table}, puisque nous supposerons que nous travaillerons dans la \eng{class table} $\mathcal{A} \oplus \mathcal{B}$, car puisque le $\oplus$ impose que les noms de classe n'entrent pas en collision, si un expression s’exécutant dans $\mathcal{A}$ ou $\mathcal{B}$ s'executera de la même façon dans $\mathcal{A}\oplus\mathcal{B}$.
|
||||
|
||||
$h$ définira une expression FJ possédant des variables libres (càd, des nœuds de la forme \fj{x}). Bien que ce soient techniquement des expressions FJ, nous les dénoterons ainsi afin de ne pas les confondre avec les expressions \enquote{fermées}, dénotées elles $e$,$f$.
|
||||
|
||||
Nous allons ausssi noter $\varepsilon$, $\gamma$ les \eng{mappings} d'un ensemble de noms de variables vers un ensemble d'expressions fermées. On va ainsi définir la complétion d'une expression ayant des variables libres par un de ces \eng{mappings}, ce qui sera noté $h\bracket{\varepsilon}$ où l'on remplace chaque occurrence d'une variable par l'image par $\varepsilon$ de ce nom de variable.
|
||||
|
||||
On note toujours le préordre entre deux expressions fermées de la même façon:
|
||||
\[e \prec f \ssi \forall\hbar \quad (\exists \overline{e'}\quad e \rightarrow \hbar\bracket{\overline{e'}}) \implies (\exists \overline{f'}\quad f \rightarrow \hbar\bracket{\overline{f'}})\]
|
||||
|
||||
Nous allons aussi étendre cette définition à deux \eng{mappings} ayant le même domaine:
|
||||
\[\varepsilon \prec \gamma \ssi \forall \fj{x}\in\operatorname{Dom}(\varepsilon)=\operatorname{Dom}(\gamma)\quad \varepsilon(\fj{x}) \prec \gamma(\fj{x})\]
|
||||
\marginpar{Un exemple d'utilisation de ces notations est-il nécessaire ?}
|
||||
|
||||
Le théorème, plus général que nous allons montrer est le suivant:
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Pour $\varepsilon$, $\gamma$ des \eng{mappings} de même domaine\\
|
||||
Pour $h$ expression avec des variables libres tel que $\operatorname{Var}(h) \subset \operatorname{Dom}(\varepsilon)$\\
|
||||
Si $\varepsilon \prec \gamma$\\
|
||||
Alors $h\bracket{\varepsilon} \prec h\bracket{\gamma}$\\
|
||||
C'est à dire \[\forall \hbar \left(\exists e'\quad h\bracket{\varepsilon}\rightarrow^* h\bracket{e'}\right)\implies\left(\exists f'\quad h\bracket{\gamma}\rightarrow^* h\bracket{f'}\right)\]
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
|
||||
On écrit $\rightarrow$ au lieu de $\rightarrow_{\mathcal{A}\oplus\mathcal{B}}$, afin d'alléger les notations.
|
||||
|
||||
Nous allons montrer un peu plus en considérant que $h$ est une expression avec un nombre quelconque de trous (mais tous remplacés par la même expression).
|
||||
\marginpar{Y a t'il besoin de préciser le remplissage de ces expressions ?}
|
||||
|
||||
Nous allons montrer le théorème en deux temps. D'abord, nous allons imposer comme contrainte que la réduction $h\bracket{e} \rightarrow^* \hbar\bracket{\overline{e'}}$ s'effectue sans application de méthode (\textsc{R-Meth}) à un appel à méthode contenu dans $h$. (C'est à dire que les appels à méthode de $h$ ne \enquote{servent à rien}, ils pourraient être remplacés par \fj{null} sans modifier la réduction).
|
||||
|
||||
Supposons alors $H_0:\quad \left(\forall \hbar\quad e \rightarrow^* \hbar\bracket{\overline{e'}} \implies \exists \overline{f'}\quad f \rightarrow^* \hbar\bracket{\overline{f'}}\right)$
|
||||
|
||||
Montrons le résultat recherché par \textbf{induction} sur $h$.
|
||||
|
||||
\paragraph{Premier cas: $\hbar = \hole$}
|
||||
Alors on note $\overline{f'} = \bracket{f}$ et donc $f \rightarrow^* f = \hbar\bracket{\overline{f'}}$
|
||||
|
||||
\paragraph{Sinon} on a nécessairement $\hbar = \fj{new C($\hbar_1$,$\hbar_2$,...,$\hbar_k$)}$. On note alors \[\hbar\bracket{\overline{e'}} = \fj{new C($\hbar_i\bracket{\overline{e^\prime}^i}$)}\quad\text{et}\quad\overline{e'} = \overline{e'}^1 \| \overline{e'}^2 \| \cdots \| \overline{e'}^k\]
|
||||
|
||||
\subparagraph{$h = \hole$}
|
||||
On applique dirèctement $H_0$
|
||||
|
||||
\subparagraph{$h = \fj{new D($h^\prime_1$,...,$h^\prime_{k^\prime}$)}$}
|
||||
|
||||
Alors, \fj{D}=\fj{C} et $k'=k$ car $\fj{new D(...$\null_{k^\prime}$)} \rightarrow^* \fj{new C(...$\null_k$)}$
|
||||
|
||||
Or, pour chaque $i$, $h'_i\bracket{e} \rightarrow^*\hbar_i\bracket{\overline{e'}^i}$, qui n'utilise pas de réduction de méthode (car sinon, la réduction de $h\bracket{e_1}$ en utiliserai).
|
||||
|
||||
Donc, en appliquant l'hypothèse d'induction à chaque $h'_i$, on obtient que \[h'_i\bracket{f} \rightarrow^*\hbar_i\bracket{\overline{f'_i}}\].
|
||||
|
||||
Donc \[h\bracket{f} \rightarrow^* \fj{new C($\hbar_i\bracket{\overline{f^\prime_1}}$,...,$\hbar_i\bracket{\overline{f^\prime_k}}$)} = \hbar\bracket{\overline{f''}}\]
|
||||
|
||||
\[\overline{f''} = \overline{f'_1} \| \dots \| \overline{f'_k}\]
|
||||
|
||||
\subparagraph{$h = \fj{$h^\prime$.f}$}
|
||||
|
||||
Alors, $h'\bracket{e} \rightarrow^* \fj{new D($e^1$,...,$e^{k^\prime}$)}$, et donc:
|
||||
|
||||
\[h\bracket{e} \rightarrow^* \fj{new D($e^1$,...,$e^{k^\prime}$).f} \rightarrow e^i \rightarrow^* \hbar\bracket{\overline{e'}}\]
|
||||
|
||||
Donc
|
||||
\[\begin{array}{rcl}
|
||||
h'\bracket{e} &\rightarrow^*& \fj{new D($e^1$,...,$e^{k^\prime}$)}\\
|
||||
&\rightarrow^*& \fj{new D($e^1$,...,$e^{i-1}$,$\hbar\bracket{\overline{e^\prime}}$,$e^{i+1}$,...,$e^{k^\prime}$)}\\
|
||||
& = & \hbar'\bracket{e^1,\dots,\overline{e'},\dots,e^{k'}}\\
|
||||
& \text{où} & \hbar' = \fj{new D([.],...,[.],$\hbar$,[.],...,[.])}
|
||||
\end{array}\]
|
||||
|
||||
En appliquant l'hypothèse de récurrence à $h'$ et $\hbar'$, dont la réduction ne contient toujours pas d'appel à méthode (on observe une sous-réduction), on obtient \[h\bracket{f} = \fj{$h^\prime\bracket{f}$.f} \rightarrow^* \fj{$\hbar^\prime\bracket{\overline{f^\prime}}$.f}\]
|
||||
|
||||
Donc \[h\bracket{f} \rightarrow^* \hbar\bracket{\overline{f'}'}\]
|
||||
|
||||
\subparagraph{$h = \fj{$h_0^\prime$.meth($\overline{h^\prime}$)}$}
|
||||
Ce cas est impossible, car alors, pour se résoudre en une expression de type \fj{new} (ici, $\hbar\bracket{\overline{e'}}$), il faudrait nécessairement que l'appel à méthode de $h$ soit utilisé, ce qui n'est pas possible dans la réduction par hypothèse.
|
||||
|
||||
|
||||
On a donc démontré le lemme pour tous les cas, il nous manque d'inclure les appels à méthode.
|
||||
|
||||
\marginpar{Faut-il préciser cette notion de «appel à méthode dans h'}
|
||||
|
||||
\paragraph{Mélange de réduction} Nous allons maintenant transformer notre réduction afin de former une chaine sans appel à méthode dans l'expression à trou.
|
||||
|
||||
Soient $h$ et $\hbar$ tels que $h\bracket{e} \rightarrow^*\hbar\bracket{\overline{e'}}$ (sans autre contrainte). Alors, on peut changer l'ordre des étapes (voire en supprimer) afin d'obtenir une réduction de la forme suivante
|
||||
|
||||
\[h\bracket{e} \rightarrow^*_{\text{\textsc{R-Meth}}} h'\bracket{e} \underbrace{\rightarrow^*}_{\text{sans appel à méthode dans $h'$}}\hbar\bracket{\overline{e'}}\]
|
||||
|
||||
Pour ce faire, nous allons procéder de manière algorithmique, en \enquote{reculant} les réduction \textsc{R-Meth} vers le début.
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
Loading…
x
Reference in New Issue
Block a user