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\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\include{./header.tex}

\title{Vers la définition d'un préordre sur les programmes FeatherweightJava
	\\[1ex] \large Notes sur mon stage au LACL}
\hypersetup{pdftitle={Vers la définition d'un préordre sur les programmes FeatherweightJava}}
\author{Samy Avrillon, encadré par Daniele Varacca (LACL, UPEC)}

\begin{document}
	
	\maketitle
	
	\hsep
	
	\tableofcontents
	
	\newpage
	
	\section{Introduction}
		
		\subsection{Présentation du problème}
	
		\subsection{Motivations de l'étude}
		
		\subsection{Plan de ce rapport}
	
	\section{Définitions et notations}
	
		\subsection{Rappel sur la définition de Featherweight Java}
			
			Dans cette section, je vais rappeler quelques notations et définitions du langage Featherweight Java \cite{fjdef}. Le lecteur souhaitant toutes les définitions complètes devra lire \cite[Section 1]{fjdef}.
			
			On utilisera la notation du sur-lignage afin d'indiquer une liste finie d'élément.
			Par exemple, on notera $f(\overline{a})$ pour indiquer un appel de la forme $f(a_1,a_2,\dots,a_n)$.
			
			Tout d'abord, on rappelle la grammaire des expressions, qui seront souvent notées $e$, $e_k$ ou $e'$, qui est la suivante:
			
			\begin{center}
				\refstepcounter{rule}
				\begin{tabular}{rll}
					$e$ $:=$ & \fj{x} & \qquad \newtag{\textrm{\textsc{E-Var}}}{rule:expr:variable} \\
					| & \fj{new C($\overline{e}$)} & \qquad \newtag{\textrm{\textsc{E-Cstr}}}{rule:expr:constructor} \\
					| & \fj{$e$.f} & \qquad \newtag{\textrm{\textsc{E-Field}}}{rule:expr:field} \\
					| & \fj{$e$.m($\overline{e}$)} & \qquad \newtag{\textrm{\textsc{E-Meth}}}{rule:expr:method} \\
					| & \fj{(C)$e$} & \qquad \newtag{\textrm{\textsc{E-Cast}}}{rule:expr:cast}
				\end{tabular}
			\end{center}
			où \fj{x} est un nom de variable, \fj{C} un nom de classe, \fj{f} un nom d'attribut de classe et \fj{m} un nom de méthode de classe.
			
			On dit d'une expression qui ne contient pas de noms de variable (\autoref{rule:expr:variable}) qu'elle est \emph{fermée}. Dans la suite du document, nous allons utiliser le terme \enquote{expression} pour désigner les expressions fermées. Les expressions quelconques seront désignées par \emph{expressions ouvertes} ou \emph{expressions à variables}, parfois notées $h$.
			
			Nous allons ausssi noter $\alpha$,$\beta$,$\varepsilon$,$\gamma$ les \eng{mappings} d'un ensemble de noms de variables vers un ensemble d'expressions fermées. On va ainsi définir la complétion d'une expression à variables par un de ces \eng{mappings}, ce qui sera noté $h\bracket{\alpha}$ où l'on remplace chaque occurrence d'une variable par l'image par $\alpha$ de ce nom de variable.
			
			Le langage définit aussi des classes, qui sont composées d'un nombre quelconque d'attributs nommés dont le type est spécifié, d'un unique constructeur qui prend autant de paramètres que la classe a d'attributs et qui définit tous ces derniers, et d'un nombre quelconque de méthodes ayant un nom, un type de retour, des paramètres ayant un nom et un type et surtout un corps, qui est une expression ouverte utilisant les noms de variable décrits dans les paramètres plus éventuellement le nom de variable spécial \fj{this} désignant l'objet duquel la méthode est appelée. Les classes ont aussi une classe mère, par défaut la classe \fj{Object} de laquelle elles héritent les attributs et les méthodes, qu'elles peuvent surcharger sans changer leur type.
			
			On appellera \eng{class table} tout ensemble de définitions de classes, et on les notera $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$. Par convention, les noms de classes seront écrit en \verb*|CamlCase| (majuscule) et les noms de méthodes, attributs (\eng{fields}) et variables en \verb*|camelCase| (minuscule).
			
			Un \emph{programme} Featherweight Java est un couple $(\mathcal{A},e)$ et est souvent noté $P$, $Q$, $R$. L'expression est en quelque sorte le \eng{main} du programme.
			
			On appelle \enquote{valeur} toute expression composée uniquement de constructeurs (\autoref{rule:expr:constructor}).
			
			On note $\vdash$ la relation de typage. On notera par exemple $\mathcal{A},\Gamma \vdash e : \fj{C}$ pour indiquer que l'expression $e$ avec l'environnement de typage $\Gamma$ (une ensemble d'entrées de type $e : \fj{C}$) est typée par la classe \fj{C} sous la \eng{class table} $\mathcal{A}$.
			
			La relation de réduction dépend de la \eng{class table} $\mathcal{A}$ utilisée. On la notera $\rightarrow_\mathcal{A}$ ou simplement $\rightarrow$ si il n'y a pas d’ambigüité. On notera aussi $\rightarrow^*_\mathcal{A}$ ou $\rightarrow^*$ la cloture transitive et réflexive de la relation. On notera enfin $e\Downarrow v$ lorsque $e \rightarrow^* v$ et $v$ est une valeur. On pourra même écrire $e \Downarrow$ pour dire $\exists v \quad e \Downarrow v$.
			
			Cette relation est définie avec deux types de règles (
			\cite[Fig.3]{fjdef}, les règles de type \textsc{R} qui indiquent :
			\begin{itemize}
				\item L'évaluation d'un attribut d'un objet (\textsc{R-Field})
				\item L'évaluation d'une méthode (\textsc{R-Invk})
				\item L'évaluation d'un cast (\textsc{R-Cast})
			\end{itemize}
			L'autre type sont les règles de type \textsc{RC} qui sont les règles de \enquote{congruence}, permettant l'évaluation dans n'importe quelle sous-expression.
			
			Enfin, nous reprenons la définition de la classe \fj{Paire} issue du papier original, reproduite \autoref{fig:pairedef}
			
			\begin{figure}
				\begin{fjlisting}
					\fjclass{Paire}{\fjattr{fst} \fjattr{snd}}{}
				\end{fjlisting}
				\caption{Définition de la classe Paire}
				\label{fig:pairedef}
			\end{figure}
		\subsection{Définitions et raccourcis de programmation}
			
			Nous allons définir en sus la grammaire des expressions à trou notés $h$, $h'$, $h_k$:
			\[h := \hole \spacebar \fj{new C($\overline{e}$,$h$,$\overline{e}$)} \spacebar \fj{$h$.f} \spacebar \fj{$h$.m($\overline{e}$)} \spacebar \fj{$e$.m($\overline{e}$,$h$,$\overline{e}$)} \spacebar \fj{(C) $h$}\]
			
			Puis on ajoute l'opération de \emph{remplissage} $h[e]$ pour $h$ expression à trou et $e$ expression quelconque, définie récursivement:
			
			\begin{align*}
				\hole[e] &= e\\
				(\fj{new C($\overline{e_1}$,$h$,$\overline{e_2}$)})[e] &= \fj{new C($\overline{e_1}$,$h[e]$,$\overline{e_2}$)}\\
				(\fj{$h$.f})[e] &= \fj{$h[e]$.f}\\
				(\fj{$h$.m($\overline{e_1}$)})[e] &= \fj{$h[e]$.m($\overline{e_1}$)}\\
				(\fj{$e_1$.m($\overline{e_2}$,$h$,$\overline{e_3}$)})[e] &= \fj{$e_1$.m($\overline{e_2}$,$h[e]$,$\overline{e_3}$)}\\
				(\fj{(C) $h$})[e] &= \fj{(C) $h[e]$}
			\end{align*}
		
			Au niveau de la programmation FJ, nous définissons quelques raccourcis d'écriture.
			Tout d'abord, la classe \fj{Static} que l'on suppose définie sans attributs. C'est une classe pour laquelle on suppose que les méthodes n'utilisent jamais \fj{this}. On autorise ainsi l'appel des méthodes de cette classe directement, ce qui correspond en pratique à autoriser des expressions de la forme \fj{meth($\overline{e}$)}, et de les remplacer par \fj{new Static().meth($\overline{e}$)}.
			
			Enfin nous définissons plusieurs classes qui permettent de coder de façon plus abstraite, dont les définitions complètes sont données en \autoref{anx:moreclass}.
			
			La première classe définie est la classe \fj{Bool}, liée à deux objets notés \fj{true} et \fj{false}. Cette classe met à disposition une méthode \enquote{if then else} \fj{ite(Object,Object)} telle que \fj{true.ite($e_t$,$e_f$)} renvoie $e_t$ et \fj{false.ite($e_t$,$e_f$)} renvoie $e_f$.
			
			La seconde classe est \fj{Int}, liée à des objets notés \fj{0}, \fj{1}, \fj{2}, \dots. Cette classe met a disposition une méthode \fj{Bool isZero()} qui renvoie \fj{true} si l'objet appelant est zéro, et renvoie \fj{false} sinon. Plusieurs méthodes sont définies en sus dans la définition complète présentée en \autoref{anx:moreclass} permettant de manipuler ces objets.%TODO Vérifier qu'elles le soient
			
			Aussi, nous définirons souvent implicitement les classes \fj{A}, \fj{B} et \fj{C}, qui n'ont pas d'attributs ni de méthode (ce sont des \enquote{objets simples}).
			
		\subsection{Extension de Featherweight Java}
			\marginpar{Voir pour enlever cette section si pas assez utilisée}
			Afin de créer des théorèmes plus tard, nous allons parfois considérer une extension du Featherweight Java, qui ajoute une valeur \fj{null}. Cependant, ajouter une simple valeur qui soit typable pour tous type enlève l'unicité du typage dans une \eng{class table}, et une valeur qui ne soit typable pour aucun type enlève la préservation du type, car
			\[\underbrace{\fj{(C)null}}_{\vdash \fj{C}} \rightarrow \underbrace{\fj{null}}_{\nvdash}\]
			
			L'implémentation choisie est donc un \eng{null} toujours typé, que l'on notera \fj{null(C)}. Qui permet de préserver les deux propriétés sus-nommées.
			
			L'ajout de \fj{null(C)} ajoute une règle axiomatique de typage indiquant $\vdash \fj{null(C)}:\fj{C}$. On n'ajoute aucune règle de réduction (car on ne peut rien appliquer à \fj{null}). On ajoute aussi \fj{null(C)} dans la liste des valeurs.
			
			Une dernière remarque sur cet ajout est que l'on vient d'ajouter encore deux cas où une réduction d'une expression bien typée peut \enquote{bloquer}. Ces deux cas sont l'équivalent java des \verb*|NullPointerException| (un pour les attributs, l'autre pour les méthodes).
			
 
	\section{Étude d'équivalences simples}
		
		\subsection{Explication de l'utilité d'un contexte}
			
			Les équivalences entre les programmes sont habituellement définies en utilisant des \enquote{contextes}. Des programmes sont dits équivalents lorsqu'ils donnent les mêmes résultats sous tout contexte. Pour un contexte $C$, on va noter $C\bracket{P}$ l'interprétation d'un programme $P$ dans le contexte. Alors, le préordre sera défini comme tel:
			\[P\prec Q \ssi \forall C\quad C\bracket{P}\Downarrow v \implies C\bracket{Q}\Downarrow v\]
			On confondra souvent les termes \enquote{équivalence} et \enquote{préordre} dans la suite de ce document, car le premier est plus pratique pour visualiser l'utilité des constructions établies.
			
			Mais le plus gros problème est de déterminer ce qu'est un contexte. La tâche est d'autant plus difficile en Featherweight Java car un programme n'est pas constitué que d'une expression, comme en λ-calcul ou en π-calcul. Une expression seule n'a même aucun sens sans une \eng{class table} associée.
			
		\subsection{Exemples d'équivalences simples}
			
			\paragraph{Une définition la plus simple} On peut commencer par dire qu'un contexte est simplement une expression à trou $C = h$. L'interpretation d'un programme $P = (\mathcal{A},e)$ dans un contexte $C$ est alors 
			\[C\bracket{P} = (\mathcal{A},h\bracket{e})\]
			
			Le \emph{premier} problème de cette définition est qu'elle est très peu puissante. En effet, le contexte est limité à l'utilisation de la \eng{class table} testée. Nous verrons plus tard des exemples démontrant que c'est une vraie limitation.%TODO Ajouter les exemples avec des références précises pour cette phrase, ou la supprimer
			
			Le \emph{second} problème est que les expressions peuvent observer de manière trop précise et profonde la \eng{class table} est ainsi les distinguer au moindre changement de nom de classe, de field ou de méthode.
			On peut s'en convaincre en considérant les \eng{class tables} qui contiennent des trous dégénérés, c'est à dire qu'elles vérifient
			\[\forall e \exists h \forall p \quad h\bracket{p} \rightarrow^*e\]
			Un exemple de trou dégénéré est l'expression trouée suivante donnée pour $e$ expression, dans n'import quelle \eng{class table} contenant la classe \fj{Paire} :
			\[\fj{new Paire($\hole$,$e$).snd}\]
			
			Ce problème du trou dégénéré permet d'évaluer n'importe quelle expression, ce qui fait que les expressions \eng{main} des programmes n'ont aucun effet sur le résultat de la comparaison. On peut donc évaluer pour chaque nom de classe $\fj{C}$ l'expression \fj{new C(null(D),...,null(E))} qui est une valeur si et seulement si la classe \fj{C} est présente dans la \eng{class table} et que ses attributs sont de types \fj{D},\fj{...},\fj{E}. De la même manière, on peut tester si une méthode existe dans une classe (à supposer qu'il existe des paramètres telle qu'elle se réduise en valeur). Donc deux programmes comparés ainsi devront avoir exactement la même structure, les mêmes noms de classe, mêmes noms d'attributs, même noms de méthode.
			
			Ainsi, on ne peut pas comparer par exemple une implémentation d'un algorithme de tri qui utiliserai une classe \fj{Tree} et une autre qui utiliserai une classe \fj{Map}. Puisqu'il n'y a pas d'\eng{access control} en FJ, un utilisateur malveillant aurait accès à tous ces outils pour mettre en défaut le programme.
			
			La relation créée en utilisant de simples expressions à trou comme contextes est ainsi robuste, mais inefficace.
			
			\paragraph{Une boîte à outils plus puissante}
			Afin de permettre aux contextes d'être plus complets et d'ainsi résoudre le premier problème, on est d'abord tenté d'y accoler une \eng{class table} supplémentaire dite «de tests». Ainsi, l'application du contexte $C = (\mathcal{C},h)$ au programme $P = (\mathcal{A}, e_P)$ donne
			\[C\bracket{P} = (\mathcal{C} \oplus \mathcal{A},h\bracket{e_P})\]
			(le $\oplus$ dénote un α-renommage évitant que les définitions s'écrasent les unes les autres).
			
			Hélas, cela renforce le second problème, car il existe alors forcément un trou dégénéré dans une \eng{class table} $\mathcal{C} \oplus CT_P$ (on n'a qu'à rajouter une classe ressemblant à \fj{Paire}).
			
			\paragraph{Restreindre les \eng{class tables}}
			
			Une dernière définition simple consiste à imposer certaines contraintes sur les \eng{class tables} des programmes comparés. On va d'abord définir le préordre suivant sur les \eng{class tables} :
			
			\[\mathcal{A} \prec \mathcal{B} \iff \forall e \forall v \quad (\mathcal{A},e)\Downarrow v \implies (\mathcal{B},e)\Downarrow v\]
			
			Souhaitant garder les contextes les plus puissants possibles, on les définit comme des couples $(\mathcal{C},h)$ et on note alors la contextualisation d'un programme $P = (\mathcal{A},e)$
			\[C\bracket{P} = (\mathcal{C}, h\bracket{e})\qquad \underline{\text{si } \mathcal{A} \prec \mathcal{C}}\]
			
			Cette condition restreint le nombre de contextes pouvant transformer un programme, et donc transforme le préordre en 
			\[P = (\mathcal{A}, e_P) \prec Q = (\mathcal{B}, e_Q) \iff \forall C=(\mathcal{C}, e_C)\quad
				\left|\begin{array}{l}\mathcal{A} \prec \mathcal{C}\\ \mathcal{B} \prec \mathcal{C} \\
				\forall v\quad C\bracket{P}\Downarrow v \implies C\bracket{Q}\Downarrow v\end{array}\right. \]
			
			Cependant, cette définition pose un problème lorsque l'on cherche à comparer deux \eng{class tables} qui n'ont aucune \enquote{sur-\eng{class table}} qui convienne aux deux en même temps. C'est le cas des deux classes données \autoref{fig:nosurct} notées $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$.
			
			\begin{figure}
				\begin{multicols}{2}
				\begin{fjlisting}
					\fjclass{Get}{
						\fjattr[A]{a}
						\fjattr[B]{b}
					}{
						\fjmethod{Object}{get}{}{this.a}
					}
				\end{fjlisting}
				\columnbreak
				\begin{fjlisting}
					\fjclass{Get}{
						\fjattr[A]{a}
						\fjattr[B]{b}
					}{
						\fjmethod{Object}{get}{}{this.b}
					}
				\end{fjlisting}
				\end{multicols}
				\caption{\eng{Class tables} n'ayant pas de sur-\eng{class table} commune}
				\label{fig:nosurct}
			\end{figure}
		
			En effet, en notant les expressions suivantes 
			\[\begin{array}{c}
				e_A = \fj{(A)(new Get(new A(), new B()).get())} \\
				e_B = \fj{(B)(new Get(new A(), new B()).get())}
			\end{array}\]
			
			On peut observer les relations suivantes qui montrent que une \eng{class table} qui conviendrait à $\mathcal{A}$ et à $\mathcal{B}$ serait impossible, car elle pourrait et ne pourrait pas évaluer $e_A$ et $e_B$ en une valeur.
			\[\begin{array}{cc}
				(CL_A,e_A)\Downarrow \new A()& (CL_A,e_B)\nDownarrow \\
				(CL_B,e_A)\nDownarrow & (CL_B,e_B)\Downarrow \new B()
			\end{array}\]
		
			Alors, puisque aucun de nos \emph{contextes} ne satisfait les hypothèses, les deux programmes sont équivalents par universalité du vide.
		
	\section{Des tests plus ciblés}
		
		\paragraph{Abandon de l'expression \fj{main}}
		
		Tous les tests présentés dans la section précédente visaient à tester un programme entier (une \eng{class table} et une expression). Il semble cependant étrange de procéder ainsi. En effet, un développeur souhaitera principalement comparer entre elles des librairies, ce qui correspondrait à nos \eng{class tables}. On ne cherche plus à savoir si deux programmes \enquote{font la même chose}, mais plutôt est-ce que ces deux \eng{class tables} fournissent les mêmes fonctions.
		
		En bonus, l'étude des \eng{class tables} est tout aussi complète que l'étude des programmes entiers, car nous pouvons toujours rajouter une classe \fj{Main} qui n'aie qu'une méthode \fj{Main.main} dont le corps soit l'expression de notre programme. Alors tester cette nouvelle \eng{class table} reviendra à tester le programme entier.
		%TODO Ajouter un exemple, ou faire un théorème
		
		\paragraph{Idée d'une nouvelle structure}
		
		Le problème de tous les contextes ci-dessus est qu'ils imposent tous une structure trop précise aux \eng{class tables} comparées. Elles doivent toutes avoir impérativement les mêmes classes, attributs et méthodes, là où on aimerait justement les comparer sur certaines classes, attributs ou méthodes.
		
		Nous allons donc créer une structure appelée \eng{test interface} (ou interface de test) qui permet de restreindre les tests à l'utilisation de classes, attributs et méthodes spécifiques. La restriction se fera à l'aide du typage.
		
		Le terme interface n'est pas anodin, la structure ressemble à une interface Java (ou Featherweigth Java \cite{liquori_fjInterfaces}), sauf que les \eng{test interface} ne serviront que lors de la compilation. Une expression va \enquote{compilée} (c'est à dire être typée) avec l'interface, puis sera \enquote{executée} (c'est à dire réduite) avec des vraies \eng{class tables}.
	
		\subsection{Définition de la structure de \eng{test interface}}
			
			\paragraph{Structure} Nous définissons donc la structure des \eng{test interface rules} dans la \autoref{fig:tigrammaire}. Une \eng{test interface} est alors simplement un ensemble de \eng{test interface rules}, et sera noté $\mathfrak{T}$, $\mathfrak{U}$, $\mathfrak{V}$. La \autoref{rule:tsg:method} permet de déclarer une méthode dans un classe et de spécifier son type. La \autoref{rule:tsg:attributes} permet de déclarer certains attributs d'une classe, en spécifiant leur nom et leur type. La \autoref{rule:tsg:constructor} permet de déclarer le constructeur de la classe ainsi que les types des attributs, et éventuellement certains noms. Enfin, la \autoref{rule:tsg:cast} permet d'indiquer que une classe doit être un sous-type d'un autre. Et donc, une \eng{class table} implémente une \eng{test interface} lorsqu'elle respect chacune de ses règles.
			
			\begin{figure}
				\ttfamily
				\begin{tcolorbox}[left=5pt,right=2pt,top=5pt,bottom=5pt,boxrule=1pt,rounded corners=all,colback=white!92!blue]
					\begin{center}
						\refstepcounter{rule}
						\begin{tabular}{rll}
							TR := & C : C m($\overline{\fj{C}}$) & \qquad \newtag{\textrm{\textsc{TSG-Meth}}}{rule:tsg:method} \\
							| & C \{$\overline{\fj{C}}$ $\overline{\fj{f}}$\} & \qquad \newtag{\textrm{\textsc{TSG-Attr}}}{rule:tsg:attributes} \\
							| & C ($\overline{\fj{C}}$ $\overline{\fj{?}\fj{f}}$) & \qquad \newtag{\textrm{\textsc{TSG-Cstr}}}{rule:tsg:constructor} \\
							| & C <: C & \qquad \newtag{\textrm{\textsc{TSG-Cast}}}{rule:tsg:cast}
						\end{tabular}
					\end{center}
				\end{tcolorbox}
				\rmfamily
				$\overline{\fj{?}\fj{f}}$ désigne une liste d'éléments qui sont ou bien vides, ou bien un nom d'attribut
				\caption{Grammaire des \eng{test interface rules}}
				\label{fig:tigrammaire}
			\end{figure}
			
			Un exemple concret de \eng{test interface} est donnée \autoref{fig:tiexample}. Elle impose la déclaration des classes \fj{Int}, \fj{Frac}, \fj{Number} et \fj{RichInt} telles que l'on puisse appeler certaines méthodes sur elles. Elle impose aussi de pouvoir construire les object \fj{Frac} avec deux paramètres de type \fj{Int}, et elle impose aussi un attribut nommé \fj{value} dans la classe \fj{RichInt}.
			
			\begin{figure}
				\begin{fjlisting}
					Number \{\}\\
					
					Int \{\}\\
					Int : Int suivant(Int)\\
					Int : Int add(Int,Int)\\
					Int <: Number\\++
					
					Frac(Int numerateur, Int denominateur)\\
					Frac : Frac inverted()\\
					Frac : Int floor()\\
					Frac <: Number\\
					
					RichInt \{Int value\}\\
					RichInt : Int getInt()\\
					RichInt <: Int
				\end{fjlisting}
				\caption{Exemple de \eng{test interface}}
				\label{fig:tiexample}
			\end{figure}
		
			À cette grammaire, nous allons ajouter quelques règles afin que la \eng{test interface} soit considérée comme valide. Dans la suite du document, on considèrera que toutes les \eng{test interfaces} utilisées sont toujours valides. Ces règles sont les suivantes:
			
			\begin{itemize}
				\item Chaque nom de classe est défini au plus une fois par une \autoref{rule:tsg:attributes} ou une \autoref{rule:tsg:constructor}.
				\item Chaque nom de methode est défini au plus une fois par nom de classe par une \autoref{rule:tsg:method}.
				\item Les noms de classe utilisés sont définis (sauf éventuellement \fj{Object}).
			\end{itemize}
			
			La troisième règle permet d'éviter les définitions implicites, en suivant la convention du papier original \cite{fjdef}. On peut dans tous les cas rajouter pour une classe \fj{C} non définie une ligne de la forme \fj{C \{\}}.
			
			Les deux règles \ref{rule:tsg:attributes} et \ref{rule:tsg:constructor} sont donc mutuellement exclusives pour un nom de classe donnée. Leur différence est que la seconde autorise le développeur à appeler le constructeur \fj{new C(...)} et impose la position de chaque attribut déclaré dans les paramètres du constructeur. Il impose aussi le nombre d'attributs de la classe (en prenant en compte l'hérédité). La première n'autorise pas l'utilisation du constructeur, et n'impose donc pas d'ordre sur ses paramètres.
				
			Il peut sembler au premier abord qu'il manque à cette définition des \eng{test interfaces} une façon d'autoriser le programmeur à utiliser un constructeur, sans en imposer l'ordre des paramètres, mais en autorisant l'accès à certains attributs. Pourtant, si l'on peut construire et accéder à un certain attribut \fj{field} sur un type \fj{C}, et que l'objet est constructible, c'est à dire qu'il existe une expression \fj{new C(new P1($e_1$),...,new Pn($e_n$))}, alors on peut créer une expression qui nous indique la position dans le constructeur de l'attribut.
			Pour ce faire, il faut, pour chaque nom de classe \fj{Pk} des paramètres, créer une sous-classe \fj{Pk\_k} (les \fj{Pk} pouvaient se confondre, mais les \fj{Pk\_k} sont tous distincts). Alors la construction suivante renverra une valeur de type \fj{Pj\_k}, et on aura ainsi accès à la position dans le constructeur de l'attribut \fj{field}.
			\[\fj{new C(new P1_1($e_1$),new P2_2($e_2$),...,new Pn_n($e_n$)).field}\]
			% TODO Ajouter une note sur l'abscence de tolérance lorsque les champs sont spécifiés.
			
			Nous allons aussi considérer uniquement les \eng{test interface} pour lesquelles il existe au moins une \eng{class table} les implémentant. Cela impose certaines règles, notamment que l'opération $\subclass$ induite puisse créer un bon ordre, mais d'autres contraintes plus complexes à exprimer apparaîssent, nous n'allons pas chercher à les exprimer ici, mais vous trouverez des exemples de telles \eng{test interfaces} en \autoref{fig:tiUnsolvable}
			
			\begin{figure}
				\begin{center}
					\begin{tabular}{ccc}
						\begin{fjlisting}[width=.3\textwidth]
							\begin{multicols}{2}
							A \{\}\\
							B \{\}\\
							C \{\}\\
							A <: B\\
							B <: C\\
							C <: A
							\end{multicols}
						\end{fjlisting}
						&
						\begin{fjlisting}[width=.2\textwidth]
							A \{\}\\
							B \{A f\}\\
							C ()\\
							C <: B
						\end{fjlisting}
						&
						\begin{fjlisting}[width=.3\textwidth]
							A \{\}\\
							B \{A f\}\\
							C (A f1, A f2)\\
							C <: B
						\end{fjlisting}
					\end{tabular}
				\end{center}
				\caption{Exemples de \textit{test interfaces} implémentés par aucune \textit{class table}}
				\label{fig:tiUnsolvable}
			\end{figure}
			
			\paragraph{Opérateur d'implémentation}
			
			Nous allons maintenant définir un opérateur \enquote{d'implémentation} noté $\triangleright$, qui décrit l'idée qu'une class table $\mathcal{A}$ implémente une \eng{test interface}, c'est à dire qu'elle vérifie toutes les contraintes que cette dernière impose. Les règles d'inférence définissant la relation sur les \eng{test interface rules} sont définies \autoref{fig:tiDefImpl}. On indique ensuite que $\mathcal{A} \triangleright \mathfrak{T}$ lorsque pour toute règle $TR\in\mathfrak{T}$, $\mathcal{A}\triangleright TR$, et que $\mathcal{A}$ est bien typé ($\mathcal{A}\;\textsc{OK}$).
			
			\begin{figure}
				\begin{tcolorbox}[left=5pt,right=2pt,top=5pt,bottom=5pt,boxrule=1pt,rounded corners=all,colback=white!92!blue]
					\refstepcounter{rule}
					\begin{center}
					\begin{tabular}{cr}
						\infer
							{\mathcal{A} \triangleright \left[\fj{C : G m($\overline{\texttt{F}}$)}\right]}
							{
								\operatorname{mtype}_\mathcal{A}(\fj{m},\fj{C}) = \fj{$\overline{\texttt{E}}$} \rightarrow \fj{H}
								\quad \overline{\fj{F}}\subclass_\mathcal{A}\overline{\fj{E}}
								\quad \fj{H}\subclass_\mathcal{A}\fj{G}
							}	
						&\newtag{\textrm{\textsc{(TRI-Meth)}}}{rule:tri:method}\\[1em]
						
						\infer
							{\mathcal{A} \triangleright \left[\fj{ C \{ $\overline{\texttt{E}}\;\overline{\texttt{f}}$\}}\right]}
							{
								\overline{\fj{F}}\;\overline{\fj{f}} \subset \operatorname{fields}_\mathcal{A}(C)
								\quad \overline{\fj{F}}\subclass_\mathcal{A}\overline{\fj{E}}
							}
						&\newtag{\textrm{\textsc{(TRI-Attr)}}}{rule:tri:attributes}\\[1em]
						
						\infer
							{\mathcal{A} \triangleright \left[\fj{ C ( $\overline{\texttt{E}}\;\overline{\texttt{f}}$)}\right]}
							{\begin{array}{l}
								\exists \overline{\fj{f'}}\quad \overline{\fj{f0}} = \overline{\fj{f}}\boxplus\overline{\fj{f'}} \\
								\overline{\fj{F}} = \overline{\fj{E}} \quad\text{où \fj{f} est défini} \\
								\overline{\fj{E}} \subclass \overline{\fj{F}} \quad \land \quad 
							\overline{\fj{F}}\;\overline{\fj{f0}} = \operatorname{fields}_\mathcal{A}(C)
							\end{array}
							}
						&\newtag{\textrm{\textsc{(TRI-Cstr)}}}{rule:tri:constructor}\\[1em]
						
						\infer
							{\mathcal{A} \triangleright \left[\fj{C} \subclass \fj{D}\right]}
							{\fj{C} \subclass_\mathcal{A} \fj{D}}
						&\newtag{\textrm{\textsc{(TRI-Cast)}}}{rule:tri:cast}
					\end{tabular}
					\end{center}
				\end{tcolorbox}
			
				$\operatorname{mtype}_\mathcal{A}$ est une application qui renvoie le type de la méthode spécifiée de la classe spécifiée \cite[Fig.1]{fjdef}, dans la \eng{class table} $\mathcal{A}$.
				
				$\operatorname{fields}_\mathcal{A}$ est une application qui renvoie la liste complète des attributs de la classe spécifiée \cite[Fig.1]{fjdef}, dans la \eng{class table} $\mathcal{A}$.
				
				$\overline{\fj{f}}\boxplus\overline{\fj{f'}}$ désigne la liste $\overline{\fj{f}}$ dont \emph{tous} les attributs manquants ont été complétés par les éléments de la liste $\overline{\fj{f'}}$.
				
				\caption{Définition de l'implémentation des \eng{test interfaces rule}}
				\label{fig:tiDefImpl}
			\end{figure}
			
			L'implémentation a été choisie la plus large possible, par exemple, une méthode \fj{C.m} typée par $\fj{Object} \rightarrow \fj{Number}$ implémentera une règle $\left[\fj{C : Int m(A)}\right]$. En effet, cette construction n'a pas pour objectif d'étudier le \emph{typage} de Featherweight Java, mais bien son \emph{fonctionnement}.
			
		\subsection{Définition du typage et d'un premier préordre}
		
			Maintenant, nous allons définir le typage d'expressions dans une \eng{test interface}. L'opérateur de typage sera noté $\Vdash$ pour le différencier de celui défini dans FJ \cite[Fig.2]{fjdef}, notée $\vdash$. Une expression sera typée sous une \eng{test interface} $\mathfrak{T}$, une \eng{class table} $\mathcal{B}$ et un environnement de typage $\Gamma$.
			
			Pour simplifier la définition du typage, nous allons (re)définir les applications suivantes :
			\begin{description}
				\item[\underline{$\operatorname{fields}$}] renvoie l'ensemble des attributs de la classe spécifiée.
				\item[\underline{$\operatorname{mtype}$}] renvoie le type de la méthode spécifiée dans la classe spécifiée.
				\item[\underline{$\operatorname{mbody}$}] renvoie le corps de la méthode spécifiée dans la classe spécifiée (donc une expression avec variables).
				\item[\underline{$\operatorname{construct}$}] renvoie le type du constructeur de la classe spécifiée, c'est à dire la liste finie des types des paramètres. 
				
			\end{description}
			Ces applications étaient déjà définies dans le papier original \cite[Fig.1]{fjdef} et \enquote{recherchaient} dans une simple \eng{class table}, notre redéfinition les définit recherchant dans une \eng{class table} mais aussi dans une \eng{test interface}. Les définitions étendues sont présentées \autoref{fig:typops}.
			
			
			\begin{figure}
				\ttfamily
				\begin{tcolorbox}[left=5pt,right=2pt,top=5pt,bottom=5pt,boxrule=1pt,rounded corners=all,colback=white!92!blue]
					\begin{center}
					\begin{tabular}{c@{\hskip 6em}l}
						\infer
							{\operatorname{construct}(\fj{C}) = \overline{\fj{D}}}
							{\left[\fj{C($\overline{\texttt{D}}\;\overline{\texttt{?f}}$)}\right] \in \mathfrak{T}}
						& \newtag{\textrm{\textsc{LTi-Cstr}}}{rule:lti-construct}\\[1em]
						\infer
							{\operatorname{construct}(\fj{C}) = \overline{\fj{D}}}
							{\fj{class C\{C($\overline{\texttt{D}}\;\overline{\texttt{f}}$)\{...\} ... \}}\in \mathcal{B}}
						& \newtag{\textrm{\textsc{LCt-Cstr}}}{rule:lct-construct}\\[1em]
						\infer
							{\operatorname{fields}(\fj{C}) = \overline{\fj{D}}\;\overline{\fj{f}} + \bigcup_{C \subclass E}\operatorname{fields}(\fj{E})}
							{\left[\fj{ C \{ $\overline{\texttt{D}}\;\overline{\texttt{f}}$\}}\right] \in \mathfrak{T}}
						& \newtag{\textrm{\textsc{LTi-Attr}}}{rule:lti-fields}\\[1em]
						\infer
							{\operatorname{fields}(\fj{C}) = \underbrace{\overline{\fj{D}}\;\overline{\fj{f}}}_{\text{\textrm{pour \fj{f} défini}}} + \bigcup_{C \subclass E}\operatorname{fields}(\fj{E})}
							{\left[\fj{ C ( $\overline{\texttt{D}}\;\overline{\texttt{f}}$)}\right] \in \mathfrak{T}}
						& \newtag{\textrm{\textsc{LTi-AttrC}}}{rule:lti-fields2}\\[1.5em]
						\infer
							{\operatorname{fields}(\fj{C}) = \overline{\fj{D}}\;\overline{\fj{f}} + \bigcup_{C \subclass E}\operatorname{fields}(\fj{E})}
							{\fj{class C \{$\overline{\texttt{D}}\;\overline{\texttt{f}}$; ...\}} \in \mathcal{B}}
						& \newtag{\textrm{\textsc{LCt-Attr}}}{rule:lct-fields}\\[1em]
						\infer
							{\operatorname{mtype}(\fj{m},\fj{C}) = \overline{\fj{D}}\rightarrow\fj{E}}
							{\left[\fj{ C : E m( $\overline{\texttt{D}}$)}\right] \in \mathfrak{T}}
						& \newtag{\textrm{\textsc{LTi-MethC}}}{rule:lti-method}\\[1em]
						\infer
							{\operatorname{mtype}(\fj{m},\fj{C}) = \overline{\fj{D}}\rightarrow\fj{E}}
							{\fj{class C \{...; E m($\overline{\texttt{D}}\;\overline{\texttt{x}}$)\}} \in \mathcal{B}}
						& \newtag{\textrm{\textsc{LCt-Meth}}}{rule:lct-method}\\[1em]
						\infer
							{\operatorname{mtype}(\fj{m},\fj{C}) = \overline{\fj{D}}\rightarrow\fj{E}}
							{\operatorname{mtype}(\fj{m},\fj{C'}) = \overline{\fj{D}}\rightarrow\fj{E}\quad \fj{C} \subclass \fj{C'}}
						& \newtag{\textrm{\textsc{LUp-Meth}}}{rule:lup-method}
					\end{tabular}
					\end{center}
				\end{tcolorbox}
				\rmfamily
				$\subclass$ dénote ici la cloture transitive et réflexive de l'union des relations $<:$ sur $\mathfrak{T}$ et $extends$ dans $\mathcal{B}$.
				
				\caption{Opérateurs supplémentaires pour le typage}
				\label{fig:typops}
			\end{figure}
		
			Grâce à ces méthodes, nous pouvons réutiliser les règles de typage de Featherweight Java presque à l'identique, qui sont rappelées \autoref{fig:typti}. Nous avons enlevé la règle de typage \textsc{T-SCast} qui autorisait les casts que les auteurs qualifiaient de \enquote{stupides}, entre deux types qui n'étaient pas parents l'un de l'autre.
			
			Nous vérifions aussi évidement la \eng{class table} $\mathcal{B}$, en vérifiant que le corps de chaque méthode est bien typé par le type attendu dans la méthode, que les champs de la \eng{class table} ne contredisent pas la \eng{test interface}. On note alors $\mathcal{B} \OKin \mathfrak{T}$. Les seules contradictions sont grammaticales si l'on a déjà vérifié que les applications $\operatorname{fields}$, $\operatorname{construct}$ et $\operatorname{mtype}$ n'étaient pas redéfinies ou mal définies.\marginpar{à prouver}
			
			\begin{figure}
				\begin{tcolorbox}[left=5pt,right=2pt,top=5pt,bottom=5pt,boxrule=1pt,rounded corners=all,colback=white!92!blue]
					\def\arraystretch{1.5}
					\begin{tabular}{c@{\hskip 2em}l}
						\infer
							{\mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash \fj{x} : \Gamma(\fj{x})}
							{\fj{x} \in \Gamma}
						& \newtag{\textrm{\textsc{TI-Var}}}{rule:ti:variable}
						\\[3ex]
						\infer
							{\mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash \fj{$e$.f} : \fj{C}}
							{\mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash e : \fj{C0} \quad \fj{C}\;\fj{f} \in \operatorname{fields}(\fj{C0})}
						& \newtag{\textrm{\textsc{TI-Field}}}{rule:ti:field}
						\\[3ex]
						\infer
							{\mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash \fj{$e$.m($\overline{e_x}$)} : \fj{C}}
							{\begin{array}{c}\mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash e : \fj{C0} \quad \mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash \overline{e_x} : \overline{\fj{CX}} \\[-1.4ex] \overline{\fj{CX}} \subclass \overline{\fj{D}} \quad \operatorname{mtype}(\fj{m},\fj{C0}) = \overline{\fj{D}} \rightarrow \fj{C} \end{array}}
						& \newtag{\textrm{\textsc{TI-Invk}}}{rule:ti:invoke}
						\\[3ex]
						\infer
							{\mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash \fj{new C(}\overline{e_x}\fj{)} : \fj{C}}
							{\mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash \overline{e_x} : \overline{\fj{CX}} \quad \overline{\fj{CX}} \subclass \overline{\fj{D}} \quad \operatorname{constructor}(\fj{C}) = \overline{\fj{D}}}
						& \newtag{\textrm{\textsc{TI-New}}}{rule:ti:new}
						\\[3ex]
						\infer
							{\mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash \fj{(C)$e$} : \fj{C}}
							{\mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash e : \fj{D} \quad \fj{D} \subclass \fj{C}}
						& \newtag{\textrm{\textsc{TI-DCast}}}{rule:ti:downCast}
						\\[3ex]
						\infer
							{\mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash \fj{(C)$e$} : \fj{C}}
							{\mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash e : \fj{D} \quad \fj{C} \subclass \fj{D} \quad \fj{C} \neq \fj{D}}
						& \newtag{\textrm{\textsc{TI-UCast}}}{rule:ti:upCast}
					\end{tabular}
				\end{tcolorbox}
				\caption{Typage des expressions avec une \eng{test interface} et une \eng{class table}}
				\label{fig:typti}
			\end{figure}
			
			Nous allons maintenant vérifier la définition de cette opération de typage $\Vdash$ en démontrant le théorème suivant:
			
			\begin{theorem}
				\label{thm:tiTyp}
				Soit une \eng{test interface} $\mathfrak{T}$, une \eng{class table} $\mathcal{A}$, un couple $(\mathcal{B},e)$ \eng{class table} $\times$ expression fermée appelée \enquote{test}, et un environnement de typage $\Gamma$ vérifiant
				\begin{itemize}
					\item $\mathcal{A} \triangleright \mathfrak{T}$
					\item $\mathcal{B} \OKin \mathfrak{T}$
					\item $\mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash e : \fj{D}$
				\end{itemize}
				
				Alors il existe \fj{C} tel que $\mathcal{A} \oplus \mathcal{B},\Gamma \vdash e : \fj{C}$ et $\fj{C} \subclass \fj{D}$.
			\end{theorem}
				Cette dernière condition est nécessaire à cause de la tolérance de l'opérateur $\triangleright$.
			
			Ce théorème se prouve par induction sur la preuve de $\mathfrak{T},\mathcal{B} \Vdash e : \fj{D}$. La preuve est donnée en \autoref{anx:proofTyptyp}.
			
			On peut alors définir un préordre sur les \eng{class tables} de la manière suivante.
			
			\begin{definition}
				Soit une \eng{test interface} $\mathfrak{T}$.
				
				Soit deux \eng{class tables} $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ qui implémentent toutes deux $\mathfrak{T}$
				
				\[\mathcal{A} \prec \mathcal{A'} \ssi \forall (\mathcal{B},e) \left|\begin{array}{l}
					\mathcal{B} \OKin \mathfrak{T}\\
					\mathfrak{T},\mathcal{B} \Vdash e : \fj{D}\\
					\mathcal{A}\oplus\mathcal{B} \Downarrow v
				\end{array}\right. \implies \mathcal{A'}\oplus\mathcal{B}\Downarrow v\]
			\end{definition}
			%TODO Ajouter un exemple
																						
		\subsection{Renforcement de ce préordre avec les valeurs infinies}
		
			Nous souhaiterions pouvoir démontrer un \eng{context lemma} sur les préordres précédents, c'est à dire un théorème qui dise que pour toute expression à trou $h$
			
			\[(\mathcal{A},e)\prec(\mathcal{B},f) \implies (\mathcal{A},h\bracket{e})\prec(\mathcal{A},h\bracket{f})\]
			
			Cependant, cela est généralement faux, puisque il est possible en Featherweight Java de considérer des expressions qui acceptent une suite infinie de réductions, mais que l'on peut \enquote{utiliser} avec des appels à méthodes ou des attributs. Nous pouvons par exemples utiliser les listes infinies, définies en annexe (\autoref{anx:classes:listes}). Cette classe \fj{IList} définit deux attributs, dont un de son propre type.
			
			\begin{figure}
				\begin{fjlisting}
					\fjclass{Static}{}{
						\fjmethod{IList}{intList}{Int i}{new IList(i, intList(i+1))}
						\fjmethod{IList}{zeroList}{}{new IList(0, zeroList())}
					}
				\end{fjlisting}
				\caption{Définitions de listes infinies}
				\label{fig:ilistsDefs}
			\end{figure}
		
			Par exemple, avec la \eng{class table} définie \autoref{fig:ilistsDefs}, nous pouvons considérer les deux expressions $e_i = \fj{intList(0)}$ et $e_0 = \fj{zeroList()}$. Tels que nous les avons défini précédemment, nos preordres ne permettent pas de différencier ces deux expressions. En effet, puisque aucune des deux ne se réduit en une valeur, on est dans une situation où les prémisses ne sont jamais vérifiées, et donc, l'universalité du vide s'applique. Cependant, certaines expressions à trou sont capables de les différencier. On peut par exemple considérer l'expression $h = \fj{$\hole$.next.obj}$, nous aurons effectivement les réductions suivantes:
			
			\[
			\begin{array}{rcl}
				h\bracket{e_i} &=& \fj{intList(0).next.obj}\\
				&\rightarrow& \fj{new IList(0, intList(0+1)).next.obj}\\
				&\rightarrow& \fj{intList(0+1).obj}\\
				&\rightarrow& \fj{new IList(0+1, intList(0+1+1)).obj}\\
				&\rightarrow& \fj{0+1}\\
				&\rightarrow^{\!*}& \fj{1}\\
				
				h\bracket{e_0} &=& \fj{zeroList().next.obj}\\
				&\rightarrow& \fj{new IList(0, zeroList()).next.obj}\\
				&\rightarrow& \fj{zeroList().obj}\\
				&\rightarrow& \fj{new IList(0, zeroList()).obj}\\
				&\rightarrow& \fj{0}
			\end{array}
			\]
			% TODO faut-il adapter l'exemple aux test interfaces au risque de trop surcharger ?
			
			Nous avons l'impression que certaines expressions forment des sortes de \enquote{valeurs infinies}, qui peuvent quand même être utilisées dans des programmes, mais uniquement de manière finie. Nous allons donc changer la définition de tous nos préordres, en remplaçant les propositions de la forme suivante.
			\[\forall v\quad (\mathcal{A}, e) \Downarrow v \implies (\mathcal{B}, f) \Downarrow v\]
			
			Nous allons tout d'abord définir une nouvelle grammaire, celle des \enquote{valeurs ouvertes} ou \enquote{valeurs avec variables}, que l'on notera avec la lettre $\hbar$. Il s'agit simplement d'expressions ouvertes qui ne contiennent que des nœuds de type \textsc{E-Var} et \textsc{E-Cstr} et telles que un nom de variable n'est utilisé au plus qu'\emph{une seule fois}.
			%TODO Rajouter des références sur ces deux noms de règles
			Par exemple, l'objet suivant est une valeur à trois variables
			\[\fj{new C(x,new S(new S(y,new G()),z))}\]
			
			On a donc aussi une opération de remplissage, comme pour les expressions à variables, que l'on note de la même manière. On supposera que si l'on marque $\hbar\bracket{\alpha}$, c'est que l'ensemble des variables libres de $\hbar$ est inclus dans l'ensemble de définition de $\alpha$.
			
			Nous alons alors pouvoir redéfinir le préordre sur deux programmes :
			\[(\mathcal{A},e)\pprec(\mathcal{B},f) \ssi \forall \hbar \forall \alpha \quad \left(e \rightarrow_\mathcal{A}^* \hbar\bracket{\alpha} \implies \exists \beta\quad f \rightarrow_\mathcal{B}^* \hbar\bracket{\beta}\right)\]
			
			Intuitivement, on vérifie que si d'un coté du préordre, l'expression peut s'évaluer en \fj{new C(...)}, alors l'autre coté s'évalue en un objet de la même classe, et ce récursivement.
			\marginpar{Cette expression me semble peu claire.}
			
			On change ainsi la définition de tous les autres préordres, notamment celui sur les \eng{class tables}:
			\[\mathcal{A}\pprec\mathcal{B} \ssi \forall e \quad (\mathcal{A},e) \pprec (\mathcal{B},e)\]
			
			Nous allons maintenant étudier les propriétés de cette nouvelle définition du préordre.
			
			\begin{property}
				\[\forall \hbar \forall \overline{e} \quad \hbar\left[\overline{e}\right]\rightarrow e' \implies \exists \overline{e''}\quad e' = \hbar\left[\overline{e''}\right]\]
			\end{property}
			
			On peut prouver cette propriété inductivement en montrant qu'une expression ayant un nœud \enquote{\fj{new}} en nœud racine se réduira forcément en une expression ayant un nœud racine du même type, en inversant la relation de réduction.
			%TODO Preuve complète
			
			\begin{property}
				\[\mathcal{A} \pprec \mathcal{B} \implies \mathcal{A} \prec \mathcal{B}\]
			\end{property}
			Il s'agit d'une particularisation, puisque qu'une valeur est une valeur à trou sans trou.
			
			\begin{property}[Context Lemma]
				\begin{gather*}
					\forall \mathcal{A} \quad\forall e,f \quad\forall (h,\mathcal{B})\\
					(e,\mathcal{A})\pprec(f,\mathcal{B}) \implies (h[e],\mathcal{A} \oplus \mathcal{B})\pprec(h[f],\mathcal{A}\oplus\mathcal{B})
				\end{gather*}
			\end{property}
			Ce théorème était en quelque sorte l'objectif de cette redéfinition, puisque nous comparons dorénavant les expressions sur \enquote{toutes les valeurs qu'elles pourraient renvoyer}.
			
			La demonstration se fera sur une version plus puissante du théorème où $h$ peut prendre plusieurs trous. La preuve se fait ensuite par récurrence sur la longueur de la chaine de réduction, en discriminant selon l'emplacement de la réduction (dans $h$, dans $e$ ou entre les deux), et en changeant les noms de variables afin de pouvoir boucler la récurrence. La démonstration complète est présentée en \autoref{anx:proofHValCL}.
		
		
	\section{Conclusion}
	
		
	\clearpage
	\section{Bibliographie}
	\printbibliography
	
	\newpage
	\appendix
	
	\section{Classes et Notations en FeatherweightJava}
	\label{anx:moreclass}
	\subsection{Les booléens}
		\begin{fjlisting}
			\fjclass{Bool}{}{
				\fjmethod{Object}{ite}{Object oTrue, Object oFalse}{oTrue}
			}\\
			\fjclass[Bool]{OBool}{}{
				\fjmethod{Object}{ite}{Object oTrue, Object oFalse}{oFalse}
			}
		\end{fjlisting}
	
		De plus, on note les constantes suivantes:
		\[\fj{true} = \fj{new Bool()}\]
		\[\fj{false} = \fj{new OBool()}\]
	\subsection{Les entiers}
		\begin{fjlisting}
			\fjclass{Int}{}{
				\fjmethod{Bool}{isZero}{}{true}
			}\\
			\fjclass{SInt}{\fjattr[Int]{prec}}{
				\fjmethod{Bool}{isZero}{}{false}
			}
		\end{fjlisting}
	
		On ajoute aussi la notation des nombres :
		\[\fj{0} = \fj{new Int()}\]
		\[n = \fj{new SInt(n-1)}\]
		
	\subsection{Les listes}
		\label{anx:classes:listes}
		\begin{fjlisting}
			// Listes Infinies\\
			\fjclass{IList}{\fjattr[IList]{next}\fjattr{obj}}{}\\
			// Listes Finies\\
			\fjclass{List}{}{
				\fjmethod{Bool}{isEmpty}{}{true}
			}\\
			\fjclass[List]{Cons}{\fjattr[List]{queue}\fjattr{head}}{
				\fjmethod{Bool}{isEmpty}{}{false}
			}
		\end{fjlisting}
	
		On ajoute aussi les notations des listes :
		\[\fj{[]} = \fj{new List()}\]
		\[\fj{$o$::$e$} = \fj{new Cons($e$,$o$)}\]
		
	\section{Preuve du théorème de cohérence du typage des \eng{test interfaces}}
	\label{anx:proofTyptyp}
	
		Cette section a pour but de présenter la preuve complète du \autoref{thm:tiTyp}, sur la cohérence du typage des \eng{test interfaces}.
		
		Nous avons $\mathfrak{T}$ une \eng{test interface}, $\mathcal{C}$ une \eng{class table} telle que $\mathcal{A} \triangleright \mathfrak{T}$ et $(\mathcal{B}, e)$ un programme test, tel que $\mathcal{B}\OKin\mathfrak{T}$.
		
		Nous allons donc essayer de montrer, par induction sur la preuve de la prémisse, la propriété suivante
		
		\[\mathfrak{T},\mathcal{B}, \Gamma \Vdash e : \fj{D} \implies \exists \fj{C}\quad \mathcal{A}\oplus\mathcal{B},\Gamma \vdash e : \fj{C} \quad\text{et}\quad \fj{C} \subclass \fj{D}\]
		
		\subsection{Propriétés sur les fonctions utilitaires}
		
		La définition de $\vdash$ dans Featherweight Java de base utilise les fonctions utilitaires non surchargées. Afin de bien les différencier, nous allons noter avec un prime les versions surchargées définies \autoref{fig:typops}.
		
		Par exemple, $(\operatorname{fields'})$ correspond à la définition surchargée dans la \eng{test interface} $\mathfrak{T}$ et la \eng{class table} de tests $\mathcal{B}$, et $(\operatorname{fields})$ correspond à la définition originale dans la \eng{class table} $\mathcal{A} \oplus \mathcal{B}$. Il en va de même pour l'opérateur $(\subclass')$, qui dénotera la cloture transitive et réflexive de l'union des relations \fj{<:} sur $\mathfrak{T}$ et \fj{extends} dans $\mathcal{B}$ et l'opérateur $(\subclass)$ qui dénotera la relation de sous-typage sur la \eng{class table} $\mathcal{A} \oplus \mathcal{B}$.
		
		Nous allons déjà montrer les trois propriétés suivantes sur ces fonctions utilitaires:
		
		\[
		\begin{array}{rcl}
			\fj{C}\;\fj{f} \in \operatorname{fields'}_{\mathfrak{T},\mathcal{B}}(\fj{C0}) &\implies& \exists \fj{C'}\subclass\fj{C}\quad\fj{C'}\;\fj{f} \in \operatorname{fields}_{\mathcal{A}\oplus\mathcal{B}}(\fj{C0}) \\
			\operatorname{mtype'}_{\mathfrak{T},\mathcal{B}}(\fj{m},\fj{C0}) = \overline{\fj{D}}\rightarrow\fj{C} & \implies& \exists \fj{C'}\subclass \fj{C}\ \exists \overline{\fj{D'}} \superclass \overline{\fj{D}}\quad \operatorname{mtype}_{\mathcal{A}\oplus\mathcal{B}}(\fj{m},\fj{C0}) = \overline{\fj{D'}}\rightarrow\fj{C'}\\
			\operatorname{construct'}_{\mathfrak{T},\mathcal{B}}(\fj{C0}) = \overline{\fj{D}} & \implies & \exists \overline{\fj{D'}} \superclass \overline{\fj{D}}\quad\exists \overline{\fj{f}} \quad \operatorname{fields}_{\mathcal{A}\oplus\mathcal{B}}(\fj{C0}) = \overline{\fj{D'}}\;\overline{\fj{f}}
		\end{array}
		\]
		
		\paragraph{Première propriété}
			Montrons cette propriété par induction sur la relation $\subclass'$.
			
			En inversant la règle qui a permis de prouver $\fj{C}\;\fj{f} \in \operatorname{fields'}_{\mathfrak{T},\mathcal{B}}(\fj{C0})$, il y a quatre possibilités.
			
			\subparagraph{Cas $\fj{C}\;\fj{f} \in \bigcup_{\fj{C}\subclass'\fj{E}}\operatorname{fields'}_{\mathfrak{T},\mathcal{B}}(\fj{E})$}
				On applique alors directement l’hypothèse d'induction.
			
			\subparagraph{Cas $\fj{class C0 \{C f;...\}} \in \mathcal{B}$ (\textnormal{\ref{rule:lct-fields})}}
				Alors, par construction de $\operatorname{fields}$, on a $\fj{C}\;\fj{f} \in \operatorname{fields}_{\mathcal{A}\oplus\mathcal{B}}(C0)$
				
			\subparagraph{Cas $\left[\fj{C0 \{C f, ...\}}\right] \in \mathfrak{T}$ (\textnormal{\ref{rule:lti-fields})}}
				Alors, puisque $\mathcal{A} \triangleright \mathfrak{T}$, c'est nécessairement par la règle \ref{rule:tri:attributes}, et on a donc
				\[\fj{C'} \fj{f} \in \operatorname{fields}_\mathcal{A}(\fj{C0})\quad\text{et}\quad \fj{C'}\subclass\fj{C}\]
				
			\subparagraph{Cas $\left[\fj{C0 (..., C f, ...)}\right] \in \mathfrak{T}$ (\textnormal{\ref{rule:lti-fields2})}}
				Alors, puisque $\mathcal{A} \triangleright \mathfrak{T}$, c'est nécessairement par la règle \ref{rule:tri:constructor}, et on a donc, puisque le field \fj{f} est défini, 
				\[\fj{C'} \fj{f} \in \operatorname{fields}_\mathcal{A}(\fj{C0})\quad\text{et}\quad \fj{C'}\subclass\fj{C}\]
			
		\paragraph{Seconde propriété}
			Procédons par induction sur la définition de $\operatorname{mtype'}_{\mathfrak{T},\mathcal{B}}$.
			
			Nous avons comme hypothèse $\operatorname{mtype'}_{\mathfrak{T},\mathcal{B}}(\fj{C0}) = \overline{\fj{D}} \rightarrow \fj{C}$.
			
			\subparagraph{Cas $\left[\fj{C0 : C m($\overline{\texttt{D}}$)}\right] \in \mathfrak{T}$  (\textnormal{\ref{rule:lti-method})}}
				Alors, puisque $\mathcal{A} \triangleright \mathfrak{T}$, c'est nécessairement par la règle \ref{rule:tri:method}, et on a donc.
				\[\operatorname{mtype}_\mathcal{A}(\fj{m},\fj{C}) = \overline{\fj{D'}} \rightarrow \fj{C'}\quad;\quad\overline{\fj{D}} \subclass \overline{\fj{D'}}\quad;\quad \fj{C'}\subclass\fj{C}\]
				
			\subparagraph{Cas $\fj{class C0 \{...,C m($\overline{\texttt{D}}\;\overline{\texttt{x}}$)\}}\in \mathcal{B}$ (\textnormal{\ref{rule:lct-method}})}
				Alors, par définition de $\operatorname{mtype}$, on a que
				\[\operatorname{mtype}_\mathcal{B}(\fj{m},\fj{C0}) = \overline{\fj{D}} \rightarrow \fj{E}\quad\text{et}\quad\fj{C0}\subclass\fj{C0}\]
				
			\subparagraph{Cas $\operatorname{mtype}(\fj{m},\fj{C}) = \overline{\fj{D}} \rightarrow \fj{E}$ et $\fj{C}\subclass'\fj{C0}$ (\textnormal{\ref{rule:lup-method}})}
			
				\label{proof:mtype:cchain}
				Puisque $\fj{C}\subclass'\fj{C0}$, alors, il existe une chaine de classes 
				\[\fj{C} = \fj{C}_0 , \fj{C}_1 , \dots , \fj{C}_n = \fj{C0}\]
				
				telles que $\fj{C}_k\;\fj{extends}\;\fj{C}_{k+1}$ dans $\mathcal{A}$ ou $\mathcal{B}$.
				
				Or, on sait que les défintions de $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ sont $\textsc{OK}$ (c'est imposé par la définition de $\mathcal{A}\triangleright\mathfrak{T})$.
				On a donc que pour chacune de ces classes:
				
				\[\operatorname{mtype}_{\mathcal{A}\oplus\mathcal{B}}(\fj{m},\fj{C}_n) = \operatorname{mtype}_{\mathcal{A}\oplus\mathcal{B}}(\fj{m},\fj{C}_{n-1}) = \cdots = \operatorname{mtype}_{\mathcal{A}\oplus\mathcal{B}}(\fj{m},\fj{C}_0)\]
				
				Donc $\operatorname{mtype}(\fj{m},\fj{C0}_n) = \overline{\fj{D}}\rightarrow \fj{E}$. 
			
			\paragraph{Troisième propritété}
			
				Une dernière fois, inversons la règle qui a permis de prouver $\operatorname{construct'}_{\mathfrak{T},\mathcal{B}}(\fj{C0}) = \overline{\fj{D}}$.
				
				\subparagraph{Cas $\left[\fj{C0 ($\overline{\texttt{D}}\;\overline{\texttt{f}}$)}\right] \in \mathfrak{T}$ (\textnormal{\ref{rule:lti-construct})}}
				
					Alors, puisque $\mathcal{A} \triangleright \mathfrak{T}$, c'est nécessairement par la \autoref{rule:tri:constructor}, et on a donc
					\[\exists \overline{\fj{D'}}\quad\overline{\fj{D'}}\;\overline{\fj{f0}} = \operatorname{fields}_\mathcal{A}(C)\]
					
				\subparagraph{Cas $\fj{class C0\{C0($\overline{\texttt{D}}\;\overline{\texttt{f}}$)\{...\} ... \}}\in \mathcal{B}$ (\textnormal{\ref{rule:lct-construct}})}
				
					Alors, puisqu'en Featherweight Java, les objets sont immuables et les constructeurs définissent tous les fields, on sait que les paramètres du constructeurs sont \emph{exactement} les champs de la classe. Et donc 
					
					\[\operatorname{fields}_{\mathcal{A}\oplus\mathcal{B}}(\fj{C0}) = \overline{\fj{D}} \quad\text{et}\quad \overline{\fj{D}} \subclass \overline{\fj{D}}\]
					
			\subsection{Corps de la preuve}
			
			Démarrons l'induction sur la preuve de la propriété présentée au début de la section.
			
			\subparagraph{\textnormal{\textsc{\ref{rule:ti:variable}}}}
				
				\begin{hyps}
					\item e = \fj{x}
					\item \fj{C} = \Gamma(\fj{x})
					\item \fj{x} \in \operatorname{dom}(\Gamma)
				\end{hyps}
				
				Alors, d'après la règle FJ \textsc{T-Var}
				\[\mathcal{A}\oplus\mathcal{B},\Gamma \vdash \fj{x} : \Gamma(\fj{x})\]
			
			\subparagraph{\textnormal{\textsc{\ref{rule:ti:field}}}}
				\begin{hyps}
					\item e = \fj{$e_0$.f}
					\item \fj{C} = \fj{C}
					\item \mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash e_0 : \fj{C0} \quad \text{donc} \quad \mathcal{A}\oplus\mathcal{B}\vdash e_0 : \fj{C0'}\quad\text{et}\quad \fj{C0'}\subclass\fj{C0}
					\item \fj{C}\;\fj{f} \in \operatorname{fields'}_{\mathfrak{T},\mathcal{B}}(\fj{C0})
				\end{hyps}
			
				On peut alors appliquer la première propriété sur la quatrième hypotèse qui nous donne
				\[\exists\fj{C'}\subclass \fj{C} \quad \fj{C'}\;\fj{f} \in \operatorname{fields}(\fj{C0})\]
				
				Alors, on peut directement appliquer la règle FJ \textsc{T-Field}
			
			\subparagraph{\textnormal{\textsc{\ref{rule:ti:invoke}}}}
				\begin{hyps}
					\item e = \fj{$e_0$.m($\overline{e_x}$)}
					\item \fj{C} = \fj{C}
					\item \mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash e_0 : \fj{C0} \quad \text{donc} \quad \mathcal{A}\oplus\mathcal{B}\vdash e_0 : \fj{C0'}\quad\text{et}\quad \fj{C0'}\subclass\fj{C0}
					\item \mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash \overline{e_x} : \overline{\fj{CX}} \quad \text{donc} \quad \mathcal{A}\oplus\mathcal{B}\vdash \overline{e_x} : \overline{\fj{CX'}}\quad\text{et}\quad \overline{\fj{CX'}}\subclass\overline{\fj{CX}}
					\item \operatorname{mtype'}_{\mathfrak{T},\mathcal{B}}(\fj{m},\fj{C0}) = \overline{\fj{D}} \rightarrow \fj{C}
					\item \overline{\fj{CX}} \subclass \overline{\fj{C}}
				\end{hyps}
			
				On peut alors appliquer la seconde propriété sur la cinquième hypothèse, on obtient que 
				\[\operatorname{mtype}_{\mathcal{A}\oplus\mathcal{B}}(\fj{m}, \fj{C0}) = \overline{\fj{D'}} \rightarrow \fj{C'} \quad\text{et}\quad \overline{\fj{D}}\subclass\overline{\fj{D'}}\quad\text{et}\quad\fj{C'}\subclass\fj{C}\]
				
				Alors, en utilisant la même preuve que pendant la preuve de la sous propriété (page \pageref{proof:mtype:cchain})
				
				\[\operatorname{mtype}_{\mathcal{A}\oplus\mathcal{B}}(\fj{m},\fj{C0'}) = \overline{\fj{D'}}\rightarrow\fj{C'} \quad\text{et}\quad \overline{\fj{CX'}} \subclass \overline{\fj{CX}} \subclass \overline{\fj{D}} \subclass \overline{\fj{D'}}\]
				
				On peut maintenant appliquer la règle FJ \textsc{T-Invk} et obtenir le résultat.
			
			\subparagraph{\textnormal{\textsc{\ref{rule:ti:new}}}}
				\begin{hyps}
					\item e = \fj{new C($\overline{e_x}$)}
					\item \fj{C} = \fj{C}
					\item \mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash \overline{e_x} : \overline{\fj{CX}} \quad \text{donc} \quad \mathcal{A}\oplus\mathcal{B}\vdash \overline{e_x} : \overline{\fj{CX'}}\quad\text{et}\quad \overline{\fj{CX'}}\subclass\overline{\fj{CX}}
					\item \operatorname{construct'}_{\mathfrak{T},\mathcal{B}}(\fj{C}) = \overline{\fj{D}}
					\item \overline{\fj{CX}} \subclass \overline{\fj{D}}
				\end{hyps}
			
				On peut appliquer la troisième propriété sur la quatrième hypothèse. On obtient alors que :
				\[\operatorname{fields}_{\mathcal{A}\oplus\mathcal{B}}(\fj{C}) = \overline{\fj{D'}}\;\overline{\fj{f}} \quad\text{et}\quad \overline{\fj{CX'}} \subclass \overline{\fj{CX}} \subclass \overline{\fj{D}} \subclass \overline{\fj{D'}}\]
				
				On peut maintenant appliquer la règle FJ \textsc{T-New} et obtenir le résultat.
				
			\subparagraph{\textnormal{\textsc{\ref{rule:ti:upCast}}}}
				\begin{hyps}
					\item e = \fj{(C)$e_0$}
					\item \fj{C} = \fj{C}
					\item \mathfrak{T},\mathcal{B},\Gamma \Vdash e_0 : \fj{C} \quad \text{donc} \quad \mathcal{A}\oplus\mathcal{B}\vdash e_0 : \fj{D}\quad\text{et}\quad \fj{D}\subclass\fj{C}
					\item \fj{D} \subclass \fj{C}
				\end{hyps}
			
				On a alors l'inégalité suivante :
				\[\fj{D'} \subclass \fj{D} \subclass \fj{C}\]
				
				On peut donc appliquer directement la règle \textsc{T-UCast}
			
			\subparagraph{\textnormal{\textsc{\ref{rule:ti:downCast}}}}
				Exactement la même preuve que le point précédent en appliquant la règle \textsc{T-DCast}
				
		\section{Preuve du \eng{context lemma} avec valeurs infinies}
			\label{anx:proofHValCL}
			
			Nous allons démontrer une version un peu plus puissante de ce théorème, ce qui simplifiera l'induction que nous ferrons.
			
			Tout d'abord, nous allons définir quelques notations locales à cette preuve.
			
			Déjà, nous ne spécifierons pas la \eng{class table}, puisque nous supposerons que nous travaillerons dans la \eng{class table} $\mathcal{A} \oplus \mathcal{B}$, car puisque le $\oplus$ impose que les noms de classe n'entrent pas en collision, si un expression s’exécutant dans $\mathcal{A}$ ou $\mathcal{B}$ s'executera de la même façon dans $\mathcal{A}\oplus\mathcal{B}$.
			
			$h$ dénotera une expression FJ quelconque (ou ouverte). Nous les dénoterons ainsi afin de ne pas les confondre avec les expressions \enquote{fermées}, dénotées elles $e$,$f$.
			
			Nous noterons aussi $\varepsilon$ et $\gamma$ les \eng{mappings} servant à \enquote{remplir} les expression ouvertes, afin de ne pas les confondre avec $\alpha$ et $\beta$, qui servent à remplir les valeurs à variables.
			
			On note toujours le préordre entre deux expressions fermées de la même façon:
			\[e \prec f \ssi \forall\hbar \quad (\exists \alpha\quad e \rightarrow \hbar\bracket{\alpha}) \implies (\exists \beta\quad f \rightarrow \hbar\bracket{\beta})\]
			
			Nous allons aussi étendre cette définition à deux \eng{mappings} ayant le même domaine:
			\[\varepsilon \prec \gamma \ssi \forall \fj{x}\in\operatorname{Dom}(\varepsilon)=\operatorname{Dom}(\gamma)\quad \varepsilon(\fj{x}) \prec \gamma(\fj{x})\]
			\marginpar{Un exemple d'utilisation de ces notations est-il nécessaire ?}
			
			Le théorème, plus général que nous allons montrer est le suivant:
			
			\begin{theorem}
				Pour $\varepsilon$, $\gamma$ des \eng{mappings} de même domaine\\
				Pour $h$ expression avec des variables libres tel que $\operatorname{Var}(h) \subset \operatorname{Dom}(\varepsilon)$\\
				Si $\varepsilon \prec \gamma$\\
				Alors $h\bracket{\varepsilon} \prec h\bracket{\gamma}$\\
				C'est à dire \[\forall \hbar \left(\exists \alpha\quad h\bracket{\varepsilon}\rightarrow^* \hbar\bracket{\alpha}\right)\implies\left(\exists \beta\quad h\bracket{\gamma}\rightarrow^* \hbar\bracket{\beta}\right)\]
			\end{theorem}
			
			C'est sous cette seconde forme que nous allons prouver le théorème (elle est plus \enquote{bas niveau}).
			
			Nous allons Tout d'abord faire une récurrence sur la taille de la réduction $h\bracket{\varepsilon}\rightarrow^* \hbar\bracket{\beta}$, notée $n$.
			
			
			\paragraph{Initialisation}
				On essaie alors de montrer le résultat par induction sur $\hbar$.
				
				On suppose que $h\bracket{\varepsilon} = \hbar\bracket{\alpha}$.
				
				\subparagraph{Cas $\hbar = \hole$}¨
					Alors
					\[h\bracket{\gamma} = \hbar\bracket{\beta}\quad\text{avec}\quad \beta = \left(h\bracket{\gamma}\right)\]
					
				\subparagraph{Cas $\hbar = \fj{new C($\overline{\hbar'}$)}$}
					Alors, il y a deux possibilités.
					
					Ou bien, on a $h = \fj{x}$, et alors puisque $\varepsilon \prec \gamma$ et que $\varepsilon(\fj{x}) = \hbar\bracket{\alpha}$, alors, on a que $\gamma(\fj{x})\rightarrow^*\hbar\bracket{\beta}$
					
					Ou bien, on a $h = \fj{new C($\overline{h'}$)}$, et donc par induction
					\[\overline{h'}\bracket{\gamma} \rightarrow^* \overline{\hbar'\bracket{\beta'}}\]
					
					Et donc, en notant $\beta$ la concaténation des $\overline{\beta'}$ (puisque les noms de variables sont utilisés de manière unique, les domaines de définition sont donc disjoints), on obtient que 
					\[h\bracket{\gamma} \rightarrow^* \hbar\bracket{\beta}\]
					
			\paragraph{Hérédité}
				
				Notre hypothèse de récurrence, notée \textsc{(HR)} est la suivante:
				\[\forall h \quad \varepsilon \prec \gamma \implies h\bracket{\varepsilon} \prec^{<n} h\bracket{\gamma}\]
				
				Nous aurons ensuite trois cas, suivant l'endroit où s'effectue la première étape de la réduction.
				
				\underline{La réduction se fait uniquement avec des nœuds de $h$}
					Alors, on a $h \rightarrow h'$ indépendamment du \eng{mapping} considéré, et on peut appliquer \textsc{(HR)} qui nous donne que, puisque $h'\bracket{\varepsilon} \rightarrow^{n-1} \hbar\bracket{\alpha}$, alors, on a 
					\[h\bracket{\gamma} \rightarrow h'\bracket{\gamma} \rightarrow^* \hbar\bracket{\beta}\]
					
				\underline{La réduction se fait sur un nœud à l’intérieur d'une variable $\fj{x}$ de $h$}
					Alors, dans cette occurrence de la variable $\fj{x}$ dans $h$, nous avons une réduction de la forme suivante.
					\[\varepsilon(\fj{x}) \rightarrow e^{\fj{x}}\]
					Choisissons alors un nom de variable non utilisé dans $\epsilon$ et $\gamma$ : $\fj{y}$, et créons $\varepsilon'$ ainsi:
					
					\[\varepsilon' = \left[ \begin{array}{ccc}
						\fj{x} &\mapsto& \varepsilon(\fj{x})\\
						\fj{y} &\mapsto& e^{\fj{x}}\\
						v &\mapsto& \varepsilon(v)
					\end{array} \right]
					\quad
					\gamma' = \left[ \begin{array}{ccc}
						\fj{x} &\mapsto& \gamma(\fj{x})\\
						\fj{y} &\mapsto& \gamma(\fj{x})\\
						v &\mapsto& \gamma(v)
					\end{array} \right]\]
				
					Ainsi, la réduction considérée s'exprime comme
					\[h\bracket{\varepsilon} \rightarrow h'\bracket{\varepsilon'} \rightarrow^{n-1} \hbar\bracket{\alpha}\]
					
					Or, nous avons aussi que $\varepsilon' \prec \gamma'$. Nous n'avons en effet que $\varepsilon(\fj{y})\prec\gamma(\fj{y})$ à vérifier, c'est à dire que $\varepsilon(\fj{x})\rightarrow e^{\fj{x}} \prec \gamma(\fj{x})$
					
					Cela est vrai par propriété de confluence sur l'opération de réduction. 
					\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
						\node (e1) at (1,1) {$\varepsilon(\fj{x})$};
						
						\node (e2) at (0,0) {$e^{\fj{x}}$};
						
						\node (e3) at (0,-1) {$\hbar\bracket{\alpha}$};
						
						\node (e4) at (1,-2) {$\hbar\bracket{\alpha'}$};
						
						\draw[->] (e1) -- (e2);
						\draw[->] (e2) to node[very near end, above right] {$*$} (e3);
						
						\draw[->,dashed] (e1) to node[very near end, above right] {$*$} (e4);
						\draw[->,dashed] (e3) to node[very near end, above right] {$*$} (e4);
					\end{tikzpicture}
					\end{center}
				
					On peut alors appliquer que $\varepsilon \prec \gamma$.
					
					Nous avons toutes les conditions réunies qui nous permettent d'appliquer l'hypothèse de récurrence.
					
				\underline{La réduction s'est faîte entre un nœud de $h$ et un nœud de $\varepsilon$}
					Il y a trois cas de figure pour lesquels les deux cas précédents ne sont pas adéquats. Le premier est un appel à \eng{field} de la forme $\fj{x.field}$, le second est un appel à méthode de la forme $\fj{x.meth($\overline{h'}$)}$ et le troisième cas est le \eng{cast} de la forme $\fj{(D)x}$.
					
					Dans ces trois cas, nous avons nécessairement $\varepsilon(\fj{x}) = \fj{new C($\overline{e^\varepsilon}$)}$, et donc aussi $\gamma(\fj{x}) = \fj{new C($\overline{e^\gamma}$)}$ avec $\overline{e^\varepsilon} \prec \overline{e^\gamma}$, puisque $\varepsilon \prec \gamma$.
					
					Dans le cas de $\fj{x.field}$, on choisit un nouveau nom de variable inutilisé $\fj{y}$, et nous créons une nouvelle fois $\varepsilon'$ et $\gamma'$ ainsi.
	
					\[\varepsilon' = \left[ \begin{array}{ccc}
						\fj{x} &\mapsto& \varepsilon(\fj{x})\\
						\fj{y} &\mapsto& e^\varepsilon_k\\
						v &\mapsto& \varepsilon(v)
					\end{array} \right]
					\quad
					\gamma' = \left[ \begin{array}{ccc}
						\fj{x} &\mapsto& \gamma(\fj{x})\\
						\fj{y} &\mapsto& e^\gamma_k\\
						v &\mapsto& \gamma(v)
					\end{array} \right]\]
				
					Nous avons alors toujours $\varepsilon' \prec \gamma'$, mais aussi que la première réduction s'écrit 
					\[h\bracket{\varepsilon} \rightarrow h'\bracket{\varepsilon'} \rightarrow^{n-1} \hbar\bracket{\alpha}\]
					où $h'$ est obtenu en remplaçant l'occurrence de $\fj{x.field}$ susnommée par $\fj{y}$.
					
					
					On peut donc appliquer l'hypothèse de récurrence. pour obtenir, puisque les \eng{class table} considérées sont les mêmes
					\[h\bracket{\gamma} \rightarrow h'\bracket{\gamma'} \rightarrow^* \hbar\bracket{\beta}\]
					
					Dans le cas de $\fj{x.meth($\overline{h'}$)}$, la procédure est presque la même.
					
					Nous allons noter $\overline{v}$ les noms des paramètres de $\fj{C.meth}$. Nous noterons aussi $h_m$ le corps de cette méthode.
					
					Nous allons enfin obtenir $h_m'$ en remplacant dans $h_m$ la variable $\fj{this}$ par la variable $\fj{x}$ et les appels à chaque variable $v_k$ par l'expression à variables $h'_k$.
					
					Nous pouvons garder $\varepsilon$ et $\gamma$ tels qu'ils sont.
					
					Alors, en remplacant l'appel $\fj{x.meth($\overline{h'}$)}$ susnommé par $h_m'$ dans $h$, on obtient une nouvelle expression $h'$ telle que la réduction soit
					\[h\bracket{\varepsilon} \rightarrow h'\bracket{\varepsilon} \rightarrow^{n-1} \hbar\bracket{\alpha}\]
					
					Mais en ayant aussi que 
					\[h\bracket{\gamma} \rightarrow h'\bracket{\gamma}\]
					
					On peut enfin appliquer l'hypothèse de récurrence de la même manière.
					
					Enfin, dans le dernier cas $\fj{(D)x}$, puisque la réduction s'est bien effectuée, c'est que $\fj{C} \subclass \fj{D}$. On peut donc simplement remplacer dans $h$ le cast par la variable $\fj{x}$ seule.
				
\end{document}
